Questão 12 - Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
&
3-x y^{\prime}=y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de variáveis separáveis
3 - x,y' = y,
onde y'=dydx. Vamos identificar que se trata de uma EDO de primeira ordem que pode ser escrita como dydx = f(x),g(y), para então separar variáveis e integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação temos
3 - xdydx = y Longrightarrow xdydx = 3 - y Longrightarrow dydx = 3 - yx
Agora separamos variáveis, colocando todos os termos em y de um lado e em x do outro:
dy3 - y = dxx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dy3 - y = integral dxx
No lado esquerdo, fazemos a substituição u = 3 - y, daí du = -dy, logo
integral dy3 - y = -integral duu = -lnlvert urvert + C1 = -lnlvert 3 - yrvert + C1
Do lado direito,
integral dxx = lnlvert xrvert + C2
Igualando as primitivas e absorvendo C1,C2 num único C, obtemos
-lnlvert 3 - yrvert = lnlvert xrvert + C Longrightarrow lnlvert 3 - yrvert = -lnlvert xrvert - C

Passo 4

Usando propriedades de logaritmo, definimos uma constante K = e^-C (não nula) e escrevemos
lnlvert 3 - yrvert = lnl(Klvert xrvertr) Longrightarrow lvert 3 - yrvert = Klvert xrvert
Removendo valor absoluto e reescrevendo a constante geral como C, chegamos à solução geral
y(x) = 3 - Cx,
onde C é constante arbitrária e xneq 0.

Resposta

y(x) = 3 - Cx, CinR

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