(a) Calcule o deslocamento .
(b) Com e , faça o gráfico de em função de para e para diversos valores de . Preste atenção especial aos valores de entre 3 e 7 . Observe como a perturbação inicial é refletida em cada extremidade da corda.
(c) Com e , faça o gráfico de em função de para diversos valores de .
(d) Construa uma animação da solução no tempo por, pelo menos, um período.
(e) Descreva o movimento da corda em algumas frases.
Passo 1
O enunciado trata da equação da onda numa corda elástica de comprimento
e as condições iniciais
onde
isto é, um pulso de largura . Vamos usar separação de variáveis e séries de seno que satisfaçam as CC.
Passo 2
Procuramos soluções separáveis u(x,t)=X(x)T(t). Da equação da onda utt=a^2uxx temos
T''(t)a^2T(t)=X''(x)X(x)=-k^2,
com as CC em X:
X(0)=0, X'(L)=0
A equação em X é X''+k^2X=0. As soluções não triviais satisfazem
Para (b) e (c) com L=10 e a=1, procede-se numericamente:
– Trunca a série em n grande (por ex. n<=50).
– Para (b) plota u(x,t) em 0<= x<=10 para vários t (ex.: t=3,4,5,6,7), mostrando como o pulso se propaga e reflete (inversão no extremo fixo, sem inversão no extremo livre).
– Para (c) escolhe vários x fixos (ex.: x=2,5,8) e plota u(x,t) em função de t.
Passo 7
Para (d), gera uma animação variando t continuamente num intervalo de um período aproximado T=2L/a=20. Em cada quadro, desenha u(x,t) de x=0 a 10.
Passo 8
(e) Em palavras: o pulso inicial se divide em dois na partida, reflete com inversão no ponto fixo x=0 e sem inversão no ponto livre x=10. Os reflexos sucessivos geram um padrão periódico de pulsos que “viajam” para frente e para trás na corda.