Considere uma corda elástica de comprimento
(a) Calcule o deslocamento .
(b) Com e , faça o gráfico de em função de para e para diversos valores de . Preste atenção especial aos valores de entre 3 e 7 . Observe como a perturbação inicial é refletida em cada extremidade da corda.
(c) Com e , faça o gráfico de em função de para diversos valores de .
(d) Construa uma animação da solução no tempo por, pelo menos, um período.
(e) Descreva o movimento da corda em algumas frases.

Passo 1

O enunciado trata da equação da onda numa corda elástica de comprimento
e as condições iniciais
onde
á
isto é, um pulso de largura . Vamos usar separação de variáveis e séries de seno que satisfaçam as CC.

Passo 2

Procuramos soluções separáveis u(x,t)=X(x)T(t). Da equação da onda utt=a^2uxx temos
T''(t)a^2T(t)=X''(x)X(x)=-k^2,
com as CC em X:
X(0)=0, X'(L)=0
A equação em X é X''+k^2X=0. As soluções não triviais satisfazem
Xn(x)=sin(kn x),
desde que kn verifique cos(knL)=0, ou seja
knL=pi2+!npi Longrightarrow kn=(2n+1)pi2L, n=0,1,2,dots
Esses kn geram as funções próprias sin(knx) ortogonais em [0,L].

Passo 3

A solução geral é combinação linear dessas modulações:
u(x,t) =sumn=0^inftyl[Ancos(a,kn t)+Bnsin(a,kn t)r]sin(knx)
Como a velocidade inicial é zero ( ut(x,0)=0), obtemos Bn=0. Com isso
u(x,t) =sumn=0^inftyAncos(a,kn t),sin(knx)
Restam determinar os coeficientes An para satisfazer u(x,0)=f(x).

Passo 4

Expandindo f(x) em série de sin(knx), usa-se ortogonalidade:
An =2Lintegral0^Lf(x)sin(knx),dx =2LintegralL/2-1^L/2+1sin(knx),dx
Essa integral dá
integralL/2-1^L/2+1sin(knx),dx =l[-cos(knx)knr]x=L/2-1^L/2+1 =cos!l(kn(tfrac L2-1)r)-cos!l(kn(tfrac L2+1)r)kn
Portanto
An =2L,knl[cos!l(kn(tfrac L2-1)r) -cos!l(kn(tfrac L2+1)r)r],
com kn=(2n+1)pi/(2L).

Passo 5

Juntando tudo, a solução (parte a) é
boxed u(x,t) =sumn=0^infty gl2L,knl[cos(kn(tfrac L2-1)) -cos(kn(tfrac L2+1))r]gr cos(a,kn t),sin(knx),
kn=(2n+1)pi2L

Passo 6

Para (b) e (c) com L=10 e a=1, procede-se numericamente:
– Trunca a série em n grande (por ex. n<=50).
– Para (b) plota u(x,t) em 0<= x<=10 para vários t (ex.: t=3,4,5,6,7), mostrando como o pulso se propaga e reflete (inversão no extremo fixo, sem inversão no extremo livre).
– Para (c) escolhe vários x fixos (ex.: x=2,5,8) e plota u(x,t) em função de t.

Passo 7

Para (d), gera uma animação variando t continuamente num intervalo de um período aproximado T=2L/a=20. Em cada quadro, desenha u(x,t) de x=0 a 10.

Passo 8

(e) Em palavras: o pulso inicial se divide em dois na partida, reflete com inversão no ponto fixo x=0 e sem inversão no ponto livre x=10. Os reflexos sucessivos geram um padrão periódico de pulsos que “viajam” para frente e para trás na corda.

Resposta

(a)
u(x,t) =sumn=0^infty 2L,kn l[cosl(knl(tfracL2-1r)r) -cosl(knl(tfracL2+1r)r)r] cos(a,kn t),sin(kn x), kn=(2n+1)pi2L
(b) Traçar u(x,t) vs.\ x para t=3,4,5,6,7, usando truncamento da série.
(c) Traçar u(x,t) vs.\ t para x=2,5,8.
(d) Criar animação de u(x,t) variando t de 0 a 20.
(e) O pulso se propaga, reflete invertido no extremo fixo e não invertido no extremo livre, repetindo-se periodicamente.

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