Verifique quando as séries geométricas abaixo convergem ou divergem. E se convergirem qual o valor de sua soma.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Primeiro, recapitulemos que uma série geométrica tem termo geral
e converge se, e somente se,
. Nesse caso a soma a partir de
até
é
Se
a série diverge. Para soma finita de
até
usamos a fórmula de soma de progressão geométrica finita.
Passo 2
Para a série
temos
e
. Como
, a série converge e
Aplicando
Passo 3
Na série
temos
e
. Como
, converge e
Aplicando
Passo 4
Para
note que isso é
com
e
. Como
, converge e
Temos
Passo 5
Na série
o termo geral é
, logo
e
. Como
, converge e
A soma é
Passo 6
Para
trata-se de soma finita de termos explícitos. Não há teste de convergência infinito: a soma é
Passo 7
Na série
temos
e
. Como
, essa série diverge.
Resposta
a) Converge e S = 2
b) Converge e S = 3/4
c) Converge e S = 6
d) Converge e S = 4
e) Soma finita S = 3\bigl((0,999999)^3 + (0,999999)^4\bigr)
f) Diverge (|r| = 6/5 > 1)
b) Converge e S = 3/4
c) Converge e S = 6
d) Converge e S = 4
e) Soma finita S = 3\bigl((0,999999)^3 + (0,999999)^4\bigr)
f) Diverge (|r| = 6/5 > 1)