Verifique quando as séries geométricas abaixo convergem ou divergem. E se convergirem qual o valor de sua soma.
a) sumn=0^infty(12)^n
b) sumn=0^infty (-1)^n3^n
c) sumn=0^infty 2^n+13^n
d) sumn=0^infty 3^n2^2 n
e) sumn=3^4 3(0,999999)^n
f) sumn=10^6^infty 10^-100(6 / 5)^n.

Passo 1

Primeiro, recapitulemos que uma série geométrica tem termo geral an = a,r^n e converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso a soma a partir de n=0 até infty é S = a1-r Se |r|>=1 a série diverge. Para soma finita de n=N1 até N2 usamos a fórmula de soma de progressão geométrica finita.

Passo 2

Para a série sumn=0^infty(tfrac12)^n temos a=1 e r=1/2. Como |r|=1/2<1, a série converge e
Aplicando S = a1-r = 11-tfrac12 = 2

Passo 3

Na série sumn=0^inftytfrac(-1)^n3^n temos a=1 e r=-1/3. Como |r|=1/3<1, converge e
Aplicando S = 11-(-tfrac13) = 1tfrac43 = tfrac34

Passo 4

Para sumn=0^inftytfrac2^n+13^n note que isso é 2sumn=0^inftyl(tfrac23r)^n com a=2 e r=2/3. Como |r|<1, converge e
Temos S = 2cdot11-tfrac23 = 2cdot3 = 6

Passo 5

Na série sumn=0^inftytfrac3^n2^2n o termo geral é (3/4)^n, logo a=1 e r=3/4. Como |r|<1, converge e
A soma é S = 11-tfrac34 = 4

Passo 6

Para sumn=3^43(0,999999)^n trata-se de soma finita de termos explícitos. Não há teste de convergência infinito: a soma é
S = 3l((0,999999)^3 + (0,999999)^4r)

Passo 7

Na série sumn=10^6^infty10^-100l(tfrac65r)^n temos a=10^-100(6/5)^10^6 e r=6/5>1. Como |r|>1, essa série diverge.

Resposta

a) Converge e S = 2
b) Converge e S = 3/4
c) Converge e S = 6
d) Converge e S = 4
e) Soma finita S = 3\bigl((0,999999)^3 + (0,999999)^4\bigr)
f) Diverge (|r| = 6/5 > 1)

Exercícios relacionados