O enunciado pede para trabalhar com o plano e a reta dada pelo sistema
Precisamos encontrar um vetor diretor da reta, verificar se ele pertence ao plano, checar se o ponto está em , achar duas direções que gerem o plano e, por fim, ver se existe um que torne paralelo ao plano .
Passo 2
Para obter um vetor diretor de , resolvemos o sistema parametricamente. Seja . Então:
Logo, derivando em relação a t, um vetor diretor é u = (-1,1,1).
Passo 3
O plano alpha tem vetor normal n=(1,-3,4). Para mostrar que u está em alpha basta verificar
ncdot u = (1,-3,4) cdot (-1,1,1) = -1 - 3 + 4 = 0
Como o produto escalar é zero, u é ortogonal a n e, portanto, está contido em alpha.
Passo 4
Para ver que P=(4,1,0) pertence a alpha, substituímos nas coordenadas:
4 - 3cdot1 + 4cdot0 = 4 - 3 = 1
Como isso coincide com o termo independente, Pinalpha.
Passo 5
Para achar dois vetores diretores de alpha, basta escolher variáveis livres e impor x - 3y + 4z = 0. Por exemplo:
Se y=1,z=0, então x=3, gerando v1=(3,1,0).
Se y=0,z=1, então x=-4, gerando v2=(-4,0,1).
Esses dois são linearmente independentes e estão em alpha.
Passo 6
Dois planos são paralelos se seus vetores normais são múltiplos. Temos nalpha=(1,-3,4) e nbetaa=(a,-1,1). Se existir k tal que
(a,-1,1) = k(1,-3,4)
então
-1 = -3k implies k=tfrac13,
mas isso exigiria
1 = 4k = tfrac43,
o que é impossível. Logo não há a que torne alpha paralelo a betaa.
Resposta
a) Um vetor diretor de r é u = (-1,1,1).
b) Como (1,-3,4)cdot(-1,1,1)=0, temos uinalpha.
c) P=(4,1,0) satisfaz 4-3cdot1+4cdot0=1, então Pinalpha.
d) Dois vetores diretores de alpha são v1=(3,1,0) e v2=(-4,0,1).
e) Não existe ain R que torne alpha paralelo a betaa.