Considere no espaço R^3 o plano alpha definido por x-3 y+4 z=1 e a reta r definida por cx+y=-1 2 x+y+z=3.
(a) Determine um vetor u tal que u é vetor diretor da reta r.
(b) Mostre que u é um vetor do plano alpha.
© Mostre que P=(4,1,0) é um ponto de alpha.
(d) Indique um par de vetores diretores do plano alpha.
(e) Averigue se existe a in R tal que o plano alpha é paralelo ao plano betaa definido por a x-y+z=a.

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com o plano alpha: x - 3y + 4z = 1 e a reta r dada pelo sistema
x + y = -1 2x + y + z = 3
Precisamos encontrar um vetor diretor da reta, verificar se ele pertence ao plano, checar se o ponto P=(4,1,0) está em alpha, achar duas direções que gerem o plano alpha e, por fim, ver se existe um a que torne alpha paralelo ao plano betaa: a x - y + z = a.

Passo 2

Para obter um vetor diretor u de r, resolvemos o sistema parametricamente. Seja t=z. Então:
2x + y + t = 3 x + y = -1 Rightarrow x = 4 - t y = -5 + t z = t
Logo, derivando em relação a t, um vetor diretor é u = (-1,1,1).

Passo 3

O plano alpha tem vetor normal n=(1,-3,4). Para mostrar que u está em alpha basta verificar
ncdot u = (1,-3,4) cdot (-1,1,1) = -1 - 3 + 4 = 0
Como o produto escalar é zero, u é ortogonal a n e, portanto, está contido em alpha.

Passo 4

Para ver que P=(4,1,0) pertence a alpha, substituímos nas coordenadas:
4 - 3cdot1 + 4cdot0 = 4 - 3 = 1
Como isso coincide com o termo independente, Pinalpha.

Passo 5

Para achar dois vetores diretores de alpha, basta escolher variáveis livres e impor x - 3y + 4z = 0. Por exemplo:
  • Se y=1,z=0, então x=3, gerando v1=(3,1,0).
  • Se y=0,z=1, então x=-4, gerando v2=(-4,0,1).
    Esses dois são linearmente independentes e estão em alpha.

Passo 6

Dois planos são paralelos se seus vetores normais são múltiplos. Temos nalpha=(1,-3,4) e nbetaa=(a,-1,1). Se existir k tal que
(a,-1,1) = k(1,-3,4)
então
-1 = -3k implies k=tfrac13,
mas isso exigiria
1 = 4k = tfrac43,
o que é impossível. Logo não há a que torne alpha paralelo a betaa.

Resposta

a) Um vetor diretor de r é u = (-1,1,1).
b) Como (1,-3,4)cdot(-1,1,1)=0, temos uinalpha.
c) P=(4,1,0) satisfaz 4-3cdot1+4cdot0=1, então Pinalpha.
d) Dois vetores diretores de alpha são v1=(3,1,0) e v2=(-4,0,1).
e) Não existe ain R que torne alpha paralelo a betaa.

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