Verifique se as séries numéricas positivas convergem:
\sum_{n=1}{\infty}\left(\frac{1+n}{n-2}\right){n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{n+1}{n-2}\Bigr)^{n^{2}}.
Como é uma série de termos positivos (a partir de n\ge3) e os termos envolvem potências em n^2, vamos usar o Teste da raiz (Cauchy) para séries numéricas.

Passo 2

Definimos a_n = \bigl(\frac{n+1}{n-2}\bigr)^{n^2}. O Teste da raiz diz que, se
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}
existe e L>1, então a série diverge.

Passo 3

Calculamos a raiz n-ésima de a_n:
\sqrt[n]{a_n} = \Bigl(\frac{n+1}{n-2}\Bigr)^{n}.

Passo 4

Para avaliar o limite
L = \lim_{n\to\infty} \Bigl(\frac{n+1}{n-2}\Bigr)^{n},
é conveniente trabalhar com o logaritmo:
\ln\Bigl(\Bigl(\frac{n+1}{n-2}\Bigr)^{n}\Bigr) = n \,\ln\!\Bigl(\frac{n+1}{n-2}\Bigr).
Usamos a expansão para n grande:
\ln\!\Bigl(\frac{n+1}{n-2}\Bigr) = \ln\bigl(1+\tfrac1n\bigr)-\ln\bigl(1-\tfrac2n\bigr) = \frac1n + \frac12\bigl(-\tfrac1{n^2}\bigr)+\cdots \;-\;\bigl(-\tfrac2n -\tfrac{2}{n^2}+\cdots\bigr) = \frac{3}{n} + \frac{3}{2n^2} + o(n^{-2}).
Multiplicando por n:
n\,\ln\!\Bigl(\frac{n+1}{n-2}\Bigr) = 3 + \frac{3}{2n} + o(n^{-1}),
logo
\lim_{n\to\infty} n\,\ln\!\Bigl(\frac{n+1}{n-2}\Bigr) = 3.
Desse modo,
L = \lim_{n\to\infty} \Bigl(\frac{n+1}{n-2}\Bigr)^{n} = e^{3}.

Passo 5

Como L = e^{3} > 1, o Teste da raiz garante que a série diverge. Além disso, o termo geral não tende a zero, pois cresce exponencialmente.

Resposta

A série diverge (não converge).

Exercícios relacionados