Em cada um dos Problemas 12 a 15, use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada; n é um inteiro positivo e a é uma constante real.
f(t)=t sen(at)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace
F(s)=Ltsin(at)(s)=integral0^inftytsin(at),e^-st,dt
usando integração por partes. Aqui o conteúdo é a definição de transformada de Laplace e o uso da fórmula
integral0^inftyu,dv=l[u,vr]0^infty-integral0^inftyv,du,
válida para s>0 garantindo convergência.

Passo 2

Escolhemos
u=t, dv=e^-stsin(at),dt
então
du=dt, v=integral e^-stsin(at),dt
Sabemos (ou podemos calcular por partes) que
v=-e^-sts^2+a^2l(ssin(at)+acos(at)r)
Aplicando a fórmula de partes em 0 até infty:
integral0^inftytsin(at)e^-stdt =l[t,vr]0^infty-integral0^inftyv,dt
Como t,e^-stto0 quando ttoinfty e em t=0 cai por t=0, o termo de contorno some, ficando
integral0^inftytsin(at)e^-stdt =-integral0^inftyv,dt =1s^2+a^2integral0^inftyl(ssin(at)+acos(at)r)e^-stdt

Passo 3

Agora usamos as transformadas conhecidas
integral0^inftye^-stsin(at),dt=as^2+a^2, integral0^inftye^-stcos(at),dt=ss^2+a^2
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F(s) =1s^2+a^2l[scdotas^2+a^2 ;+;acdotss^2+a^2r] =2as(s^2+a^2)^2

Resposta

Ltsin(at)(s)=2as(s^2+a^2)^2

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