Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Comparação no Limite.
sumn=1^infty n^32-1(e^n n^3)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty n^32-1e^n,n^3
é convergente ou divergente, usando o Teste da Comparação no Limite. Trata-se de uma série de termos positivos, então podemos compará-la a uma serie conhecida para verificar a convergência.

Passo 2

Definimos
an = n^32-1e^n,n^3
e escolhemos como série comparativa
bn = 1e^n
A série sum bn é geométrica com razão 1/e<1, portanto converge.

Passo 3

Calculamos o limite
limntoinftyanbn =limntoinfty n^32-1e^n,n^3 1e^n =limntoinftyn^32-1n^3 =limntoinftyl(n^-32-n^-3r) =0

Passo 4

Como
0 <= limntoinftyanbn < infty
e sum bn converge, pelo Teste da Comparação no Limite a série sum an também converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyn^32-1e^n,n^3 é convergente.

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