Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Comparação no Limite.
sumn=1^infty 3 n^3-2 n^2+4n^7-n^3+2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty an com an = 3n^3-2n^2+4n^7-n^3+2
é convergente ou divergente usando o Teste da Comparação no Limite. Vamos comparar com uma p-série do tipo sum 1/n^p.

Passo 2

Observando o comportamento de an quando ntoinfty, temos
an sim 3n^3n^7 = 3n^4
Isso sugere usar como série de comparação
bn = 1n^4,
que é uma p-série com p=4>1, logo sum bn é convergente.

Passo 3

Aplicamos o Teste da Comparação no Limite, calculando
L = limntoinfty anbn = limntoinfty 3n^3-2n^2+4n^7-n^3+21n^4 = limntoinfty (3n^3-2n^2+4),n^4n^7-n^3+2
Dividindo numerador e denominador por n^7, fica
L = limntoinfty 3 - tfrac2n + tfrac4n^31 - tfrac1n^4 + tfrac2n^7 = 3
Como 0< L < infty e sum bn é convergente, pelo Teste da Comparação no Limite sum an também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 3n^3-2n^2+4n^7-n^3+2 é convergente.

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