Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Integral, se for possível. (Não se esqueça de verificar a possibilidade da aplicação do teste antes!)
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da série
pelo Teste da Integral. O conteúdo é séries de termo positivo e a técnica envolve comparar a soma com a integral imprópria da função
.
pelo Teste da Integral. O conteúdo é séries de termo positivo e a técnica envolve comparar a soma com a integral imprópria da função
Passo 2
Antes de aplicar o Teste da Integral, precisamos checar que
é contínua, positiva e decrescente para
.
-
é contínua e positiva em porque . - A derivada
é sempre negativa em
, logo
é decrescente.
Passo 3
Agora calculamos a integral imprópria associada:
Fazendo a mudança de variável
, temos
e os limites
,
. Assim
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral a série também diverge.
Resposta
A série
diverge.