Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Integral, se for possível. (Não se esqueça de verificar a possibilidade da aplicação do teste antes!)
sumn=1^infty 1raizn+1

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=1^infty1raizn+1
pelo Teste da Integral. O conteúdo é séries de termo positivo e a técnica envolve comparar a soma com a integral imprópria da função
f(x)=1raizx+1.

Passo 2

Antes de aplicar o Teste da Integral, precisamos checar que f(x)=1/raizx+1 é contínua, positiva e decrescente para x>=1.
  • f(x) é contínua e positiva em [1,infty) porque x+1>0.
  • A derivada
f'(x) = -tfrac12 (x+1)^-3/2
é sempre negativa em [1,infty), logo f é decrescente.

Passo 3

Agora calculamos a integral imprópria associada:
integral1^infty1raizx+1,dx
Fazendo a mudança de variável t=x+1, temos dt=dx e os limites x=1mapsto t=2, xtoinftymapsto ttoinfty. Assim
integral1^infty1raizx+1,dx =integral2^inftyt^-1/2,dt =l[2,t^1/2r]2^infty =limTtoinfty2raizT-2raiz2 =infty
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral a série também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty1raizn+1 diverge.

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