Verifique se as séries são convergentes ou divergentes através do Teste da Integral, se for possível. (Não se esqueça de verificar a possibilidade da aplicação do teste antes!)
sumn=1^infty 2n^2

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty2n^2
O conteúdo aqui é o Teste da Integral para séries de termos positivos. Vamos verificar se podemos aplicar esse teste e, em seguida, calcular a integral correspondente.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=2x^2
para x>=1. Observamos que f é contínua e positiva nesse intervalo. Além disso,
f'(x)=-4x^3<0para x>=1,
logo f é decrescente em [1,infty). Assim, todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.

Passo 3

Montamos a integral imprópria
integral1^infty2x^2,dx
Primeiro, integramos de 1 até t:
integral1^t2x^2,dx =[-2x]1^t =-2t+2
Agora fazemos ttoinfty. Como limttoinfty(-2/t)=0, a integral converge e seu valor é 2.

Passo 4

Pelo Teste da Integral, se
integral1^inftyf(x),dx
converge, então a série sumn=1^inftyf(n) também converge. Como integral1^infty2/x^2,dx convergiu, concluímos que
sumn=1^infty2n^2
converge.

Resposta

A série sumn=1^infty2n^2 é convergente.

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