Utilize a série geométrica para expressar o número 2, \overline{43}=2,434343 \ldots como uma razão de inteiros.

Passo 1

O enunciado dá o número periódico 2,\overline{43}=2,434343\ldots e pede para escrevê-lo como uma razão de inteiros (ou seja, encontrar inteiros p e q tais que o número seja \dfrac{p}{q}). Informação relevante: a parte decimal repete o bloco de dois dígitos 43 indefinidamente.

Passo 2

Ideia principal: separar a parte inteira da parte decimal periódica e somar a parte decimal como uma série geométrica. Seja
x=2,\overline{43}.
Então podemos escrever
x=2+0,\overline{43}.
A tarefa reduz-se a expressar 0,\overline{43} como uma fração.

Passo 3

O que é uma série geométrica e sua fórmula de soma. Uma série geométrica infinita tem a forma
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k}=a+ar+ar^{2}+\cdots,
onde a é o primeiro termo e r é a razão comum. Quando |r|<1, essa soma converge e vale
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k}=\frac{a}{1-r}.
(Explicação rápida: chamando a soma de S, tem-se S=a+ar+ar^{2}+\cdots. Multiplicando por r e subtraindo, obtém-se S-Sr=a, logo S=a/(1-r).)

Passo 4

Representar 0,\overline{43} como série geométrica. Observa-se
0,\overline{43}=0,43+0,0043+0,000043+\cdots.
Cada termo é obtido multiplicando o anterior por 0,01 (porque o bloco repetido tem duas casas decimais). Assim é uma série geométrica com primeiro termo a=0,43 e razão r=0,01. Aplicando a fórmula:
0,\overline{43}=\frac{0,43}{1-0,01}.

Passo 5

Fazer as contas transformando decimais em frações para simplificar. Temos 0,43=\dfrac{43}{100} e 0,01=\dfrac{1}{100}, logo
0,\overline{43}=\frac{\dfrac{43}{100}}{1-\dfrac{1}{100}}=\frac{\dfrac{43}{100}}{\dfrac{99}{100}}=\frac{43}{99}.

Passo 6

Voltar para x. Lembrando que x=2+0,\overline{43}, obtemos
x=2+\frac{43}{99}=\frac{2\cdot99}{99}+\frac{43}{99}=\frac{198+43}{99}=\frac{241}{99}.
Verificação de irreduzibilidade: 241 não é divisível por 3 nem por 11, logo não tem fator comum com 99; portanto a fração já está na forma irredutível.

Resposta

\dfrac{241}{99}

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