Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Caso convirjam, determine a sua soma.
sumn=0^infty 2^n+3e^n-3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=0^infty 2^n+3e^n-3 converge ou diverge e, em caso de convergência, determinar sua soma. Isso envolve o estudo de séries numéricas, em particular séries geométricas.

Passo 2

Manipulamos o termo geral para evidenciar a forma geométrica. Como 2^n+3=8cdot2^n e e^n-3=e^n/e^3, temos:
2^n+3e^n-3=8e^32^ne^n=8e^3(2e)^n

Passo 3

Agora reconhecemos que a série é geométrica de primeiro termo a=8e^3 e razão r=2/e. Em geral, sumn=0^infty a,r^n converge se |r|<1 e diverge caso contrário.

Passo 4

Aplicamos o critério de convergência para séries geométricas: como eapprox2.718>2, temos
|2e|<1,
portanto a série converge.

Passo 5

Para encontrar a soma, usamos a fórmula sumn=0^infty a,r^n=a1-r. Substituindo a=8e^3 e r=2/e, obtemos:
sumn=0^infty 2^n+3e^n-3=8e^3cdot11-tfrac2e=8e^3tfrace-2e=8e^4e-2

Resposta

A série converge e sua soma é dfrac8e^4e-2.

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