Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Caso convirjam, determine a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série converge ou diverge e, em caso de convergência, determinar sua soma. Isso envolve o estudo de séries numéricas, em particular séries geométricas.
Passo 2
Manipulamos o termo geral para evidenciar a forma geométrica. Como e , temos:
Passo 3
Agora reconhecemos que a série é geométrica de primeiro termo e razão . Em geral, converge se e diverge caso contrário.
Passo 4
Aplicamos o critério de convergência para séries geométricas: como , temos
portanto a série converge.
Passo 5
Para encontrar a soma, usamos a fórmula sumn=0^infty a,r^n=a1-r. Substituindo a=8e^3 e r=2/e, obtemos: