Achar a equação do plano que passa pelos pontos (-1,2,1),(4,-2,1) e (0,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que contém os pontos (-1,2,1), (4,-2,1) e (0,1,-1).
O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço: para encontrar a equação de um plano dado três pontos, precisamos achar um vetor normal ao plano usando produto vetorial e em seguida usar a fórmula
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)\bigr)=0.

Passo 2

Tomamos um ponto de referência, por exemplo P_1=(-1,2,1), e construímos dois vetores no plano a partir dele:
\mathbf{v} = P_2 - P_1 = (4-(-1),\,-2-2,\,1-1) = (5,-4,0),
\mathbf{w} = P_3 - P_1 = (0-(-1),\,1-2,\,-1-1) = (1,-1,-2).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado pelo produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{w}. Calculando:
\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 5 & -4 & 0 \\\\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix} = \bigl((-4)(-2)-0\cdot(-1)\bigr)\mathbf{i} - \bigl(5\cdot(-2)-0\cdot1\bigr)\mathbf{j} + \bigl(5\cdot(-1)-(-4)\cdot1\bigr)\mathbf{k}
= (8)\mathbf{i} -(-10)\mathbf{j} +(-1)\mathbf{k} = (8,\,10,\,-1).

Passo 4

Usando o ponto P_1=(-1,2,1) e \mathbf{n}=(8,10,-1), a equação do plano é
8\bigl(x-(-1)\bigr) + 10\bigl(y-2\bigr) -1\bigl(z-1\bigr) = 0.
Desenvolvendo e simplificando:
8x + 8 + 10y -20 -z +1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 8x + 10y - z -11 = 0.

Resposta

8x + 10y - z - 11 = 0.

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