Verifique se o subconjunto S do espaço vetorial ( V,+, \cdot ) é L.I. ou L.D. .
S \doteq\{(1,2,2,-3),(-1,4,-2,0)\} e V \doteq \mathbb{R}^{4}, munido das operações usuais

Passo 1

O enunciado nos dá o subconjunto \;S = \{v_1,v_2\}\subset \mathbb{R}^4
com
v_1 = (1,2,2,-3), \quad v_2 = (-1,4,-2,0).
Queremos verificar se S é linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.). Para isso usaremos o critério de combinação linear nula.

Passo 2

Suponha que existam escalares \lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R} tais que
\lambda_1\,v_1 + \lambda_2\,v_2 = (0,0,0,0).
Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} \lambda_1 - \lambda_2 = 0,\\\\ 2\lambda_1 + 4\lambda_2 = 0,\\\\ 2\lambda_1 - 2\lambda_2 = 0,\\\\ -3\lambda_1 + 0\cdot\lambda_2 = 0. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação \lambda_1 - \lambda_2 = 0 vem
\lambda_1 = \lambda_2.
Substituindo na segunda equação 2\lambda_1 + 4\lambda_2 = 0
2\lambda_2 + 4\lambda_2 = 6\lambda_2 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda_2 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda_1 = 0.

Passo 4

Verificando a terceira equação 2\lambda_1 - 2\lambda_2 = 0 e a quarta -3\lambda_1 = 0 com \lambda_1=\lambda_2=0, vemos que ambas são satisfeitas sem introduzir outras soluções.

Passo 5

Como a única solução da combinação linear nula é \lambda_1=\lambda_2=0, concluímos que os vetores não são múltiplos entre si e, portanto, S é linearmente independente.

Resposta

S é linearmente independente.

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