Se A é quadrada e invertível, o aviso contra dividir (A^T A)^-1 não se aplica. É verdade que A A^-1(A^T)^-1 A^T=I. Quando A é invertivel, por que P=I? Qual é o erro e?

Passo 1

Resumindo: temos uma matriz quadrada invertível A de ordem n e definimos a “matriz de projeção”
P = A,(A^TA)^-1A^T
Queremos entender por que, nesse caso, P=I e qual é o vetor de erro (resíduo) e na regressão de mínimos quadrados.

Passo 2

Usamos que, sendo A invertível, A^T também é invertível e
(A^TA)^-1 = A^-1(A^T)^-1
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P = A,l(A^-1(A^T)^-1r)A^T = (A A^-1),l((A^T)^-1A^Tr) = Icdot I = I

Passo 3

Geometricamente, como , o espaço coluna de é . Projetar qualquer vetor em sobre deixa-o inalterado; por isso a matriz de projeção é de fato .

Passo 4

No contexto de mínimos quadrados, para um vetor de observações b a solução normal é
x = (A^TA)^-1A^Tb,
e o vetor de erro (resíduo) é
e = b - A,x = b - A,(A^TA)^-1A^Tb = (I - P),b
Como P=I, temos e=(I-I)b=0.

Resposta

Quando A é invertível, P=I porque (A^TA)^-1=A^-1(A^T)^-1 faz com que
,A(A^TA)^-1A^T=I.
O vetor de erro (resíduo) é
e=(I-P),b=0

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