Se
é quadrada e invertível, o aviso contra dividir
não se aplica. É verdade que
. Quando
é invertivel, por que
? Qual é o erro
?
Passo 1
Resumindo: temos uma matriz quadrada invertível
de ordem
e definimos a “matriz de projeção”
Queremos entender por que, nesse caso,
e qual é o vetor de erro (resíduo)
na regressão de mínimos quadrados.
Passo 2
Usamos que, sendo
invertível,
também é invertível e
Logo
Passo 3
Geometricamente, como , o espaço coluna de
é . Projetar qualquer vetor em sobre deixa-o inalterado; por isso a matriz de projeção é de fato
.
Passo 4
No contexto de mínimos quadrados, para um vetor de observações
a solução normal é
e o vetor de erro (resíduo) é
Como
, temos
.
Resposta
Quando
é invertível,
porque
faz com que
.
O vetor de erro (resíduo) é
O vetor de erro (resíduo) é