Verifique quais dos subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais reais do espaço
(considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
e y são múltiplos de 10
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subespaço vetorial de
com as operações usuais. Se for, determinar sua dimensão; se não for, justificar ou dar contra-exemplo.
Passo 2
Lembrando que um subconjunto
é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades:
- contém o vetor zero;
- é fechado sob adição;
- é fechado sob multiplicação por escalar real.
Passo 3
Verificação da adição (e do zero):
O vetor zero está em
porque
. Dados
e
em
, seus primeiros componentes são
e
com
. Então
O vetor zero
ainda tem as duas primeiras coordenadas múltiplos inteiros de 10, logo a adição fecha em
.
Passo 4
Verificação da multiplicação por escalar:
Escolha o vetor
Escolha o vetor
e o escalar
. Então
Mas
não é múltiplo inteiro de
, logo
. Assim
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Como falha o fechamento por escalar,
não satisfaz as condições de subespaço vetorial.