Verifique quais dos subconjuntos W abaixo são subespaços vetoriais reais do espaço V (considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
V=R^3 ; W=(x, y, z) in V ; x e y são múltiplos de 10

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = (x,y,z)in R^3 mid x e y são mú<iplos de 10 ãú
é um subespaço vetorial de V=R^3 com as operações usuais. Se for, determinar sua dimensão; se não for, justificar ou dar contra-exemplo.

Passo 2

Lembrando que um subconjunto Wsubseteq V é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades:
  1. contém o vetor zero;
  2. é fechado sob adição;
  3. é fechado sob multiplicação por escalar real.

Passo 3

Verificação da adição (e do zero):
O vetor zero (0,0,0) está em W porque 0=10cdot0. Dados
(x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) em W, seus primeiros componentes são xi=10ni e yi=10mi com ni,miinZ. Então
(x1+x2,y1+y2,z1+z2)=(10(n1+n2),,10(m1+m2),,z1+z2)
ainda tem as duas primeiras coordenadas múltiplos inteiros de 10, logo a adição fecha em W.

Passo 4

Verificação da multiplicação por escalar:
Escolha o vetor
w=(10,0,0)in W
e o escalar lambda=tfrac12. Então
lambda w = l(tfrac12cdot10,,tfrac12cdot0,,tfrac12cdot0r)=(5,0,0)
Mas 5 não é múltiplo inteiro de 10, logo lambda wnotin W. Assim W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Como falha o fechamento por escalar, W não satisfaz as condições de subespaço vetorial.

Resposta

W não é subespaço vetorial de R^3.

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