Verifique quais dos subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais reais do espaço
(considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
;
;
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial real
com as operações usuais, e o subconjunto
Queremos verificar se
é subespaço de
(isto é, fechado sob soma e multiplicação escalar e contendo o vetor zero) e, em caso afirmativo, achar sua dimensão.
Passo 2
Usamos a propriedade fundamental do determinante: para toda matriz quadrada
, vale
Logo, qualquer
satisfaz
. Isso mostra que
Passo 3
Como
, ele é obviamente um subespaço vetorial (conhecido que
é subespaço de si mesmo). Além disso, é sabido que
Portanto,
.