Verifique quais dos subconjuntos W abaixo são subespaços vetoriais reais do espaço V (considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
V=M3 times 3 ; W=A in V; det(A)=det(A^T);

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial real
V = M3times3(R)
com as operações usuais, e o subconjunto
W = ,Ain V mid det(A)=det(A^T)
Queremos verificar se W é subespaço de V (isto é, fechado sob soma e multiplicação escalar e contendo o vetor zero) e, em caso afirmativo, achar sua dimensão.

Passo 2

Usamos a propriedade fundamental do determinante: para toda matriz quadrada A, vale
det(A^T)=det(A)
Logo, qualquer Ain V satisfaz det(A)=det(A^T). Isso mostra que
W=,Ain Vmid det(A)=det(A^T)=V

Passo 3

Como W=V, ele é obviamente um subespaço vetorial (conhecido que V é subespaço de si mesmo). Além disso, é sabido que
diml(M3times3(R)r)=3cdot 3=9
Portanto, dim(W)=9.

Resposta

W é um subespaço de V e dim(W)=9.

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