Verifique se os subconjuntos F abaixo são subespaços vetoriais de E=M(m times n, R) :
m=n quaisquer e F é o conjunto das matrizes cujo traço é igual a 1977;

Passo 1

Temos o espaço vetorial E=M(ntimes n,R) e o subconjunto F=Ain Emid tr(A)=1977. O conteúdo envolve a definição de subespaço vetorial: precisamos verificar se F contém o vetor zero e se é fechado em soma e multiplicação escalar. Vamos usar a propriedade do traço.

Passo 2

Para ser subespaço, o conjunto deve conter o elemento neutro (a matriz zero). A matriz zero 0 tem tr(0)=0. Como 0neq1977, temos 0notin F.

Passo 3

A falha na inclusão da matriz zero já é suficiente para concluir que F não satisfaz as condições de subespaço (o mesmo ocorreria ao verificar fechamento sob soma ou escalares). Portanto, F não é subespaço vetorial de E.

Resposta

F não é subespaço vetorial de E, pois o elemento neutro (matriz zero) não pertence a F ( tr(0)=0neq1977).

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