Verifique se os subconjuntos do
, definidos pelas condições a seguir são limitados e fechados.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto definido por
em
é limitado e fechado. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e topologia, especificamente sobre conjuntos limitados e fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o conjunto ser limitado. Um conjunto é limitado se todos os seus pontos estão dentro de algum círculo de raio finito. Isso garante que o conjunto não se estende até o infinito.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Essa é a equação de uma elipse centrada na origem. Como estamos trabalhando com uma desigualdade estrita ("<"), todos os pontos que satisfazem essa condição estão dentro da elipse, mas sem incluir a borda.
Passo 4
Para verificar se o conjunto é limitado, observamos que a elipse está completamente dentro de um círculo de raio 1. Isso significa que existe um limite finito para os valores de
e
, confirmando que o conjunto é limitado.
Passo 5
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado. Um conjunto é fechado se inclui todos os seus pontos de fronteira. No nosso caso, a desigualdade é estrita (
), o que significa que os pontos na borda da elipse (onde
) não estão incluídos no conjunto.
Passo 6
Como os pontos de fronteira não estão incluídos, o conjunto não é fechado. Em outras palavras, faltam os pontos que formam a borda da elipse, o que impede que o conjunto seja considerado fechado.
Resposta
O conjunto definido por
é limitado, mas não é fechado.