Verifique se os subconjuntos do R^2, definidos pelas condições a seguir são limitados e fechados.
© 2 x^2+y^2<1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto definido por em é limitado e fechado. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e topologia, especificamente sobre conjuntos limitados e fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o conjunto ser limitado. Um conjunto é limitado se todos os seus pontos estão dentro de algum círculo de raio finito. Isso garante que o conjunto não se estende até o infinito.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Essa é a equação de uma elipse centrada na origem. Como estamos trabalhando com uma desigualdade estrita ("<"), todos os pontos que satisfazem essa condição estão dentro da elipse, mas sem incluir a borda.

Passo 4

Para verificar se o conjunto é limitado, observamos que a elipse está completamente dentro de um círculo de raio 1. Isso significa que existe um limite finito para os valores de e , confirmando que o conjunto é limitado.

Passo 5

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado. Um conjunto é fechado se inclui todos os seus pontos de fronteira. No nosso caso, a desigualdade é estrita ( ), o que significa que os pontos na borda da elipse (onde ) não estão incluídos no conjunto.

Passo 6

Como os pontos de fronteira não estão incluídos, o conjunto não é fechado. Em outras palavras, faltam os pontos que formam a borda da elipse, o que impede que o conjunto seja considerado fechado.

Resposta

O conjunto definido por é limitado, mas não é fechado.

Exercícios relacionados