Sabendo que existe a menor distância entre o ponto (1,2,5) e o plano x-2 y-z=0, determine-a, usando as técnicas de cálculo diferencial.

Passo 1

A questão pede a menor distância entre o ponto (1,2,5) e o plano x - 2y - z = 0, usando cálculo diferencial (multiplicadores de Lagrange). Vamos minimizar a distância ao quadrado, sujeita à restrição do plano.

Passo 2

Definimos a função a minimizar (distância ao quadrado) e a restrição:
f(x,y,z) = (x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-5)^2
g(x,y,z) = x - 2y - z = 0
Aqui usamos Lagrange, que diz que no ponto ótimo nabla f = lambda,nabla g.

Passo 3

Calculamos os gradientes e montamos as equações de Lagrange:
nabla f = l(2(x-1),;2(y-2),;2(z-5)r), nabla g = (1,,-2,,-1)
Logo,
2(x-1) = lambda, 2(y-2)= -2lambda, 2(z-5)= -lambda

Passo 4

Expressamos x,y,z em função de lambda:
x = 1 + lambda2, y = 2 - lambda, z = 5 - lambda2
Agora impomos a restrição do plano x - 2y - z = 0 para achar lambda.

Passo 5

Substituindo na restrição:
l(1 + tfraclambda2r) - 2l(2-lambdar) - l(5 - tfraclambda2r) = 0
Isso dá 3lambda - 8 = 0, logo lambda = tfrac83. O ponto de pé (projeção) fica
l(tfrac73,-tfrac23,tfrac113r)

Passo 6

Calculamos a distância mínima:
d = raiz(x-1)^2+(y-2)^2+(z-5)^2 = raiz323 = 4raiz63

Resposta

4raiz63

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