Sabendo que existe a menor distância entre o ponto
e o plano
, determine-a, usando as técnicas de cálculo diferencial.
Passo 1
A questão pede a menor distância entre o ponto
e o plano
, usando cálculo diferencial (multiplicadores de Lagrange). Vamos minimizar a distância ao quadrado, sujeita à restrição do plano.
Passo 2
Definimos a função a minimizar (distância ao quadrado) e a restrição:
Aqui usamos Lagrange, que diz que no ponto ótimo
.
Passo 3
Calculamos os gradientes e montamos as equações de Lagrange:
Logo,
Passo 4
Expressamos
em função de
:
Agora impomos a restrição do plano
para achar
.
Passo 5
Substituindo na restrição:
Isso dá
, logo
. O ponto de pé (projeção) fica
Passo 6
Calculamos a distância mínima: