Determine se o vetor \mathbf{v} pertence ao espaço gerado pelo conjunto S.
(a) \mathbf{v}=(5,3), \quad S=\{(1,1),(2,3)\} em \mathbb{R}^{2}

Passo 1

O enunciado dá \mathbf{v}=(5,3) e o conjunto S=\{(1,1),(2,3)\}\subset\mathbb{R}^2. Queremos verificar se \mathbf{v} está no espaço gerado por S, isto é, se existe combinação linear de (1,1) e (2,3) que resulte em (5,3).

Passo 2

Assumimos que existam escalares a,b tais que
a\,(1,1)+b\,(2,3)=(5,3).
Isso gera o sistema de equações:
\begin{cases} a + 2b = 5,\\\ a + 3b = 3. \end{cases}

Passo 3

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos
(a+3b)-(a+2b)=3-5 \quad\Longrightarrow\quad b=-2.
Em seguida, substituímos b=-2 em a+2b=5:
a+2(-2)=5 \quad\Longrightarrow\quad a=9.

Passo 4

Encontramos a=9 e b=-2, logo
\mathbf{v} =9\,(1,1)-2\,(2,3),
ou seja, \mathbf{v} é combinação linear dos vetores de S.

Resposta

\mathbf{v}\in\mathrm{span}(S), pois
\mathbf{v}=9(1,1)-2(2,3).

Exercícios relacionados