Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais reais do espaço (considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo. ;
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial real de todas as matrizes reais com as operações usuais e o subconjunto
ou seja, as matrizes antissimétricas. Queremos testar se é subespaço de e, em caso afirmativo, determinar sua dimensão.
Passo 2
Verificar se contém o vetor zero: a matriz zero satisfaz
logo , ou seja, a matriz zero é antissimétrica. Portanto e não é vazio.
Passo 3
Testar fechamento sob adição: sejam , então
Logo
o que mostra que .
Passo 4
Testar fechamento sob multiplicação por escalar: seja e . Então
portanto . Assim satisfaz os três critérios de subespaço (contém o zero, fechado em soma e em multiplicação por escalar) e é subespaço de .
Passo 5
Determinar a dimensão de : uma matriz tem a forma geral
com a,b,c in R. Logo W é gerado pelos três vetores