Verifique quais dos subconjuntos W abaixo são subespaços vetoriais reais do espaço V (considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
V=M3 times 3 ; W=A in V ; A=-A^T;

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial real V = M3 times 3 de todas as matrizes reais 3times3 com as operações usuais e o subconjunto
W = A in V : A = -A^T,
ou seja, as matrizes antissimétricas. Queremos testar se W é subespaço de V e, em caso afirmativo, determinar sua dimensão.

Passo 2

Verificar se W contém o vetor zero: a matriz zero 0 satisfaz
0^T = 0,
logo 0 = -0, ou seja, a matriz zero é antissimétrica. Portanto 0 in W e W não é vazio.

Passo 3

Testar fechamento sob adição: sejam A,B in W, então
A^T = -A e B^T = -B
Logo
(A + B)^T = A^T + B^T = -A - B = -(A + B),
o que mostra que A + B in W.

Passo 4

Testar fechamento sob multiplicação por escalar: seja A in W e alpha in R. Então
(alpha A)^T = alpha,A^T = alpha(-A) = -(alpha A),
portanto alpha A in W. Assim W satisfaz os três critérios de subespaço (contém o zero, fechado em soma e em multiplicação por escalar) e é subespaço de V.

Passo 5

Determinar a dimensão de W: uma matriz A in W tem a forma geral
A = 0 & a & b [6pt] -,a & 0 & c [6pt] -,b & -,c & 0
com a,b,c in R. Logo W é gerado pelos três vetores
E12 - E21, E13 - E31, E23 - E32,
que são linearmente independentes. Assim
dim W = 3 ]

Resposta

W é subespaço vetorial de V e dim W = 3.

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