Verifique quais dos subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais reais do espaço
(considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
;
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
com as operações usuais, e o subconjunto
O objetivo é verificar se
é subespaço de
e, em caso afirmativo, determinar
.
Passo 2
Lembrando a propriedade geral do traço transposto de um produto, temos para quaisquer matrizes
:
Aplicando com
, obtemos
Logo essa igualdade vale para todo
.
Passo 3
Como a condição
é satisfeita por qualquer
, segue que
Portanto
é subespaço vetorial de
, pois coincidir com
garante a preservação de soma, produto escalar e contém o zero.
Passo 4
Sabendo que o espaço de todas as matrizes reais
tem dimensão
e como
, concluímos