Verifique quais dos subconjuntos W abaixo são subespaços vetoriais reais do espaço V (considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
V=M5 times 5 ; W=A in V ;(A^T)^2=(A^2)^T;

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
V = M5times5(R)
com as operações usuais, e o subconjunto
W = ,Ain V mid (A^T)^2 = (A^2)^T
O objetivo é verificar se W é subespaço de V e, em caso afirmativo, determinar dim W.

Passo 2

Lembrando a propriedade geral do traço transposto de um produto, temos para quaisquer matrizes A,Bin V:
(AB)^T = B^TA^T
Aplicando com B=A, obtemos
(A^2)^T = (A,A)^T = A^TA^T = (A^T)^2
Logo essa igualdade vale para todo Ain V.

Passo 3

Como a condição (A^T)^2 = (A^2)^T é satisfeita por qualquer Ain V, segue que
W = V
Portanto W é subespaço vetorial de V, pois coincidir com V garante a preservação de soma, produto escalar e contém o zero.

Passo 4

Sabendo que o espaço de todas as matrizes reais 5times5 tem dimensão
dim V = 5 times 5 = 25,
e como W=V, concluímos
dim W = 25

Resposta

W é subespaço vetorial de V e dim W = 25.

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