Verifique quais dos subconjuntos W abaixo são subespaços vetoriais reais do espaço V (considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
V=P3 ; W=p in V ; p(0)=pi;

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial real V = P3 (polinômios de grau até 3) com as operações usuais, e o subconjunto
W = ,pin V mid p(0)=pi
Precisamos checar se W é fechado para soma e multiplicação escalar e se contém o vetor zero; se for subespaço, achar sua dimensão; caso contrário, justificar por contra-exemplo.

Passo 2

Um requisito básico de todo subespaço é conter o vetor zero de V, isto é, o polinômio p0(x)=0. Mas
p0(0)=0neq pi,
logo p0notin W. Portanto W já falha no teste mais simples de subespaço.

Passo 3

Para reforçar, podemos checar a soma: tome
p1,p2in W com p1(0)=pi e p2(0)=pi. Então
(p1+p2)(0)=p1(0)+p2(0)=pi+pi=2pineqpi,
logo p1+p2notin W. Falha de fechamento.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

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