Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais reais do espaço (considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo. ;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subespaço vetorial de . Se for, queremos sua dimensão; se não for, basta dar um contra-exemplo. O conteúdo necessário envolve propriedades do determinante e o teste de subespaço (fechamento em soma e multiplicação escalar).
Passo 2
Usamos que para qualquer matriz :
.
e como , segue .
Logo
Passo 3
A condição fica
Assim
ou seja, é o conjunto das matrizes singulares de ordem .
Passo 4
Para ser subespaço, deve ser fechado sob soma. Mas a soma de duas matrizes singulares pode ser inversível. Por exemplo, seja
Calculamos det(A)=0 e det(B)=0, mas
A+B = 1&0&00&1&00&0&1
tem det(A+B)=1neq0. Logo A,Bin W mas A+Bnotin W.
Passo 5
Como W não é fechado em relação à soma, concluímos que Wnão é subespaço vetorial de V.
Resposta
W não é subespaço vetorial de M3times3(R), pois consiste das matrizes singulares e falha a propriedade de fechamento sob soma (contra-exemplo acima).