Verifique quais dos subconjuntos W abaixo são subespaços vetoriais reais do espaço V (considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
V=M3 times 3 ; W=A in V ; det(A)=det(-A^T);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = Ain V=M3times3(R) mid det(A)=det(-A^T)
é um subespaço vetorial de V. Se for, queremos sua dimensão; se não for, basta dar um contra-exemplo. O conteúdo necessário envolve propriedades do determinante e o teste de subespaço (fechamento em soma e multiplicação escalar).

Passo 2

Usamos que para qualquer matriz AinM3times3:
  1. det(A^T)=det(A).
  2. det(-A)=det((-I)A)=det(-I),det(A) e como det(-I)=(-1)^3=-1, segue det(-A)=-det(A).
    Logo
det(-A^T)=detl(-(A^T)r)=-det(A^T)=-det(A)

Passo 3

A condição det(A)=det(-A^T) fica
det(A) = -det(A) Longrightarrow 2,det(A)=0 Longrightarrow det(A)=0
Assim
W=AinM3times3(R)mid det(A)=0,
ou seja, W é o conjunto das matrizes singulares de ordem 3.

Passo 4

Para ser subespaço, W deve ser fechado sob soma. Mas a soma de duas matrizes singulares pode ser inversível. Por exemplo, seja
A=1&0&00&0&00&0&0, B=0&0&00&1&00&0&1
Calculamos
det(A)=0 e det(B)=0, mas
A+B = 1&0&00&1&00&0&1
tem det(A+B)=1neq0. Logo A,Bin W mas A+Bnotin W.

Passo 5

Como W não é fechado em relação à soma, concluímos que W não é subespaço vetorial de V.

Resposta

W não é subespaço vetorial de M3times3(R), pois consiste das matrizes singulares e falha a propriedade de fechamento sob soma (contra-exemplo acima).

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