Verifique se S é um subespaço vetorial do espaço vetorial V nos seguintes casos:
(vi) V=P3(R) e S=a+b x^2+c x^3 mid a, b, c in R

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial
V = P3( R)
que é o conjunto de todos os polinômios de grau <=3 com coeficientes em R, e o subconjunto
S = l,a + b x^2 + c x^3 mid a,b,cin R,r,
isto é, todos os polinômios de grau <=3 cujo coeficiente de x é zero. Para verificar que S é subespaço de V vamos checar:
1. 0in S,
2. S fechado em soma,
3. S fechado em multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que o polinômio zero está em S. O polinômio zero em P3( R) é
0(x) = 0 + 0,x + 0,x^2 + 0,x^3
Aqui basta escolher a=b=c=0 para ver que
0(x) = 0 + 0cdot x^2 + 0cdot x^3in S

Passo 3

Verificar fechamento de S sob adição. Sejam
p1(x) = a1 + b1 x^2 + c1 x^3, p2(x) = a2 + b2 x^2 + c2 x^3
em S. Então
p1(x)+p2(x) = (a1+a2) + (b1+b2),x^2 + (c1+c2),x^3,
que é novamente da forma a'+b',x^2+c',x^3 com a'=a1+a2, b'=b1+b2, c'=c1+c2. Logo p1+p2in S.

Passo 4

Verificar fechamento de S sob multiplicação por escalar. Seja lambdain R e
p(x) = a + b x^2 + c x^3in S
Então
lambda,p(x) = (lambda a) + (lambda b),x^2 + (lambda c),x^3,
que também é da forma exigida, com coeficiente de x zero. Logo lambda pin S.

Resposta

S é um subespaço vetorial de V.

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