Verifique se o subespaço vetorial é uma reta um plano ou um subespaço de dimensão superior a dois no espaço vetorial dado. (DICA: discuta o sistema e veja a quantidade de variáveis livres). em V=R^3.
Passo 1
O enunciado define o subespaço
W = (x,y,z)inR^3 mid y - z = x,;3x - 3y + 3z = 0
e pede para classificar W como reta (dim=1), plano (dim=2) ou dimensão maior que 2. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares e dimensão de subespaços, usando número de variáveis livres.
Passo 2
Escrevendo as duas equações em evidência de dependência, temos
(1) y - z = x Longrightarrow x - y + z = 0,
(2) 3x - 3y + 3z = 0
Observe que a equação (2) é exatamente 3 vezes a equação x - y + z = 0. Logo, só há uma equação independente, isto é, o posto do sistema é 1.
Passo 3
Como há 3 variáveis (x,y,z) e apenas 1 equação independente, o número de variáveis livres é
3 - 1 = 2
Para ver explicitamente, escolhemos parâmetros
y = s, z = t, s,tinR,
e da equação x - y + z = 0 vem x = y - z = s - t. Assim
(x,y,z) = (s - t,;s,;t) = s,(1,1,0) ;+; t,(-1,0,1),
mostrando uma base com 2 vetores independentes e dim W=2. Portanto W é um plano que passa pela origem em R^3.