Verifique se o subespaço vetorial W é uma reta um plano ou um subespaço de dimensão superior a dois no espaço vetorial dado. (DICA: discuta o sistema e veja a quantidade de variáveis livres).
W=(x, y, z): y-z=x em V=R^3

Passo 1

O enunciado pede para identificar se
W = (x,y,z)in R^3 : y - z = x
é uma reta, um plano ou um subespaço de dimensão superior a dois em R^3. O conteúdo é análise de subespaços via sistema linear homogêneo e contagem de variáveis livres para determinar a dimensão de W.

Passo 2

Reescrevemos a condição y - z = x em forma padrão:
x - y + z = 0
Temos uma única equação linear homogênea em três incógnitas (x,y,z). O número de variáveis livres é dado por
variáveis livres = 3 - posto do sistema = 3 - 1 = 2, á
logo dim(W)=2.

Passo 3

Para ver isso em forma de parâmetro, tomamos duas variáveis livres, por exemplo s e t, definindo
y = s, z = t, x = y - z = s - t
Assim,
(x,y,z) = (s - t,,s,,t) = s,(1,1,0) ;+; t,(-1,0,1)

Passo 4

Os vetores (1,1,0) e (-1,0,1) são linearmente independentes, formam uma base de W e mostram que dim(W)=2. Em R^3, um subespaço de dimensão 2 é um plano que passa pela origem.

Resposta

W é um plano de dimensão 2 em R^3.

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