Em cada item, verifique que o conjunto é um subespaço do espaço vetorial : em V=M3(R). ( W é chamado subespaço das matrizes triangulares superiores, veja que a obrigação é ser zero abaixo da diagonal).
Passo 1
O espaço vetorial aqui é V = M3(R) e o conjunto
W = l x11 & x12 & x13 0 & x22 & x23 0 & 0 & x33 :xijinRr
contém exatamente as matrizes triangulares superiores. Para mostrar que W é subespaço de V precisamos verificar três propriedades:
O vetor zero de V pertence a W.
W é fechado sob adição.
W é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificar que a matriz zero
0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
está em W. De fato, todos os xij=0 satisfazem a condição de zeros abaixo da diagonal, logo 0in W.
também tem zeros abaixo da diagonal, logo lambda Ain W.
Resposta
O conjunto W satisfaz as três condições de subespaço (contém o zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar), portanto W é um subespaço de V.