Em cada item, verifique que o conjunto W é um subespaço do espaço vetorial V :
W=[cccx11 & x12 & x13 0 & x22 & x23 0 & 0 & x33]: xi j in R em V=M3(R). ( W é chamado subespaço das matrizes triangulares superiores, veja que a obrigação é ser zero abaixo da diagonal).

Passo 1

O espaço vetorial aqui é V = M3(R) e o conjunto
W = l x11 & x12 & x13 0 & x22 & x23 0 & 0 & x33 :xijinRr
contém exatamente as matrizes triangulares superiores. Para mostrar que W é subespaço de V precisamos verificar três propriedades:
  1. O vetor zero de V pertence a W.
  2. W é fechado sob adição.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que a matriz zero
0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
está em W. De fato, todos os xij=0 satisfazem a condição de zeros abaixo da diagonal, logo 0in W.

Passo 3

Mostrar fechamento sob adição. Sejam
A = a11 & a12 & a13 0 & a22 & a23 0 & 0 & a33 , B = b11 & b12 & b13 0 & b22 & b23 0 & 0 & b33
em W. Então
A+B = a11+b11 & a12+b12 & a13+b13 0+0 & a22+b22 & a23+b23 0+0 & 0+0 & a33+b33
Como as entradas abaixo da diagonal continuam sendo zero, A+Bin W.

Passo 4

Mostrar fechamento sob multiplicação por escalar. Seja lambdainR e
A = a11 & a12 & a13 0 & a22 & a23 0 & 0 & a33 in W
Então
lambda A = lambda a11 & lambda a12 & lambda a13 lambdacdot0 & lambda a22 & lambda a23 lambdacdot0 & lambdacdot0 & lambda a33
também tem zeros abaixo da diagonal, logo lambda Ain W.

Resposta

O conjunto W satisfaz as três condições de subespaço (contém o zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar), portanto W é um subespaço de V.

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