Verifique se o subespaço vetorial W é uma reta um plano ou um subespaço de dimensão superior a dois no espaço vetorial dado. (DICA: discuta o sistema e veja a quantidade de variáveis livres).
W=(x, y, z):cy-z=x 3 x-3 y+z=0 em V=R^3.

Passo 1

O enunciado pede para identificar se
W = (x,y,z)inR^3 mid y - z = x,;3x - 3y + z = 0
é uma reta, um plano ou um subespaço de dimensão maior que dois.
O conteúdo usado será resolução de sistemas lineares homogêneos e cálculo da dimensão via número de variáveis livres.

Passo 2

Escrevemos as equações na forma padrão, todas igualadas a zero:
y - z = x ;Long<=ftrightarrow; x - y + z = 0,
3x - 3y + z = 0

Passo 3

Fazemos eliminação de x,y,z. Subtraindo 3 vezes a primeira equação da segunda:
(3x -3y + z) - 3(x - y + z) = -2z = 0 ;Longrightarrow; z = 0
Com z=0 na primeira equação x - y + z = 0 obtemos
x - y = 0 ;Longrightarrow; x = y

Passo 4

Temos então
x = y, z = 0,
ou seja uma única variável livre. Fazendo t = x = y, a solução geral é
(x,y,z) = (t,t,0) = t,(1,1,0)

Passo 5

Como há exatamente uma variável livre, dim W = 1. Logo W é uma reta (subespaço de dimensão 1) passando pela origem.

Resposta

W é uma reta de dimensão 1, dada por
W = t,(1,1,0)mid tinR

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