Verifique se o subespaço vetorial W é uma reta um plano ou um subespaço de dimensão superior a dois no espaço vetorial dado. (DICA: discuta o sistema e veja a quantidade de variáveis livres).
W=(x, y, z, t):cx+y+4 z-t=0 x+y+z=0 4 x+4 y+10 z-2 t=0 em V=R^4.

Passo 1

O enunciado define
W=(x,y,z,t)in R^4 mid x+y+4z-t=0, x+y+z=0, 4x+4y+10z-2t=0
e pede para identificar se W é reta, plano ou subespaço de dimensão maior que dois.
O conteúdo usado será: discussão de sistema linear homogêneo, cálculo do posto da matriz de coeficientes e aplicação do Teorema da Dimensão ( dim W = n - posto(A)).

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & 4 & -1 1 & 1 & 1 & 0 4 & 4 & 10 & -2
e aplicamos operações elementares para escalonar.

Passo 3

Fazendo
R2 R2 - R1, R3 R3 - 4,R1
obtemos
1 & 1 & 4 & -1 0 & 0 & -3 & 1 0 & 0 & -6 & 2
Em seguida dividimos a segunda linha por -3 e eliminamos a terceira, chegando a
1 & 1 & 0 & tfrac13 0 & 0 & 1 & -tfrac13 0 & 0 & 0 & 0
Portanto posto(A)=2.

Passo 4

Como temos 4 incógnitas e posto(A)=2, pelo Teorema da Dimensão
dim W = 4 - 2 = 2
Isso significa que há 2 variáveis livres e o espaço solução é bidimensional.

Passo 5

Um subespaço de dimensão 2 em R^4 é um plano que passa pela origem.

Resposta

W é um plano em R^4 (subespaço de dimensão 2).

Exercícios relacionados