Verifique se o subespaço vetorial W é uma reta um plano ou um subespaço de dimensão superior a dois no espaço vetorial dado. (DICA: discuta o sistema e veja a quantidade de variáveis livres).
W=(x, y, z, t, r, s):cx+3 y+4 z-2 t+r-2 s=0 x+y+2 z-r+2 s=0 x+2 y+3 z-t=0 y+z-r-t-2 s=0 em V=R^6.

Passo 1

O enunciado define
WsubsetR^6
como o conjunto de soluções de quatro equações lineares em seis incógnitas
(x,y,z,t,r,s).
Para saber se W é uma reta ( dim=1), plano ( dim=2) ou de dimensão superior a dois, vamos calcular
dim(W)=l(número de variáveisr)-l(posto das equaçõesr)úáçõ.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A das quatro equações em relação a
(x,y,z,t,r,s):
A = 1 & 3 & 4 & -2 & 1 & -2 1 & 1 & 2 & 0 & -1 & 2 1 & 2 & 3 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & -2

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss para encontrar o posto de A. Por exemplo:
  1. Subtraímos a primeira linha das segunda e terceira:
1 & 3 & 4 & -2 & 1 & -2 0 & -2 & -2 & 2 & -2 & 4 0 & -1 & -1 & 1 & -1 & 2 0 & 1 & 1 & -1& -1 & -2
  1. Trocamos as linhas 2 e 3 e usamos o novo pivô em y para eliminar y da linha 3 e 4:
1 & 3 & 4 & -2 & 1 & -2 0 & -1& -1& 1 & -1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0
Dessa forma ficam três linhas não nulas com pivôs em x, y e r. Logo
rank(A)=3.

Passo 4

Temos seis variáveis e rank(A)=3, então o número de variáveis livres é
6 - 3 = 3,
ou seja
dim(W) = 3
Como dim(W)>2, concluímos que W é um subespaço de dimensão superior a dois.

Resposta

W é um subespaço de dimensão 3, logo de dimensão superior a 2.

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