Um capacitor de placas circulares de raio
está sendo descarregado. O campo elétrico entre as placas decresce uniformemente a uma taxa de
. Calcule:
(a) A corrente de deslocamento total
(b) O campo magnético induzido a
do centro
(a) A corrente de deslocamento total
(b) O campo magnético induzido a
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece dados numéricos. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados fornecidos:
- Raio das placas:
. - Taxa de variação do campo elétrico entre as placas:
.
O enunciado pede:
(a) A corrente de deslocamento total entre as placas (isto é, a corrente de deslocamento associada à variação do fluxo elétrico através da área das placas).
(b) O campo magnético induzido a do centro (ou seja, em um círculo concêntrico de raio
menor que
).
(a) A corrente de deslocamento total entre as placas (isto é, a corrente de deslocamento associada à variação do fluxo elétrico através da área das placas).
(b) O campo magnético induzido a
Passo 2
Conceito e fórmula básica: corrente de deslocamento.
- Maxwell introduziu a corrente de deslocamento para corrigir a forma da Lei de Ampère quando o campo elétrico varia no tempo. A expressão que precisamos é a corrente de deslocamento total através de uma superfície
:
onde
-
é a permissividade do vácuo ( ); -
é o fluxo elétrico através de , definido por .
No nosso problema o campo elétrico entre as placas é assumido uniforme (mesmo valor em toda a área circular), então o fluxo pela área da placa é simplesmente
Assim, a derivada temporal do fluxo é
Passo 3
Cálculo da corrente de deslocamento total (parte a).
Usando a fórmula:
Usando a fórmula:
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro a área:
Agora calculamos
:
Fazendo as contas passo a passo:
e multiplicando pela área,
Interpretação do sinal: o valor negativo vem de
. Isso indica que o fluxo elétrico está diminuindo; a corrente de deslocamento “equivalente” tem direção oposta à adotada como positiva para
. Em muitos problemas práticos reporta-se apenas o módulo
e indica-se a direção separadamente (ver abaixo).
Passo 4
Conceito e fórmula para o campo magnético induzido (parte b).
- A Lei de Ampère-Maxwell (forma integral) diz:
onde
é a permeabilidade do vácuo (
), e o segundo termo à direita é a corrente de deslocamento através da superfície limitada pela curva
.
-
Para simetria cilíndrica (placas circulares, campo elétrico axial uniforme), o campo magnético induzido
será tangencial (circunferencial), de módulo constante ao longo de uma circunferência de raio centrada no eixo. Então o lado esquerdo da lei é simplesmente . -
No nosso caso não há corrente livre atravessando a região entre as placas, então
. O termo que entra é apenas a corrente de deslocamento “penalizada” pela área do laço até o raio considerado. Importante: ao calcular em um ponto com (caso dado ), a área que importa para o fluxo é a área do círculo de raio , isto é .
Aplicando a lei:
Isolando
:
Aqui:
-
é a distância radial do centro onde queremos ; -
é a taxa temporal do campo elétrico fornecida.
Passo 5
Cálculo numérico do campo magnético em
.
Usando
Usando
com
(ou usar
e
separadamente),
e
:
Calculemos passo a passo:
Arredondando de forma razoável:
Interpretação do sinal: o campo magnético é tangencial (circunferencial) em torno do eixo. O sinal negativo corresponde à orientação (sentido) relativa escolhida para a integral de linha; em termos físicos, pode-se dizer que
tem direção azimutal (ao redor do eixo das placas) cujo sentido é dado pela regra da mão direita aplicada à direção da corrente de deslocamento equivalente. Como
, a corrente de deslocamento tem sentido oposto ao sentido positivo de
; o leitor pode usar a regra da mão direita para relacionar isso ao sentido horário/anti-horário visto de cima dependendo de qual direção foi assumida para
.
Resposta
(a)
(módulo
, o sinal negativo indica que o fluxo elétrico está diminuindo).
(b) (campo tangencial ao redor do eixo; o sinal indica o sentido associado à diminuição de
).
(b)