Um capacitor de placas circulares de raio R=8,0 \mathrm{~cm} está sendo descarregado. O campo elétrico entre as placas decresce uniformemente a uma taxa de d E / d t=-1,5 \times 10^{12} \mathrm{V} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}). Calcule:
(a) A corrente de deslocamento total
(b) O campo magnético induzido a r=4,0 \mathrm{~cm} do centro

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece dados numéricos. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados fornecidos:
  • Raio das placas: R=8{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}08\\ \mathrm{m}.
  • Taxa de variação do campo elétrico entre as placas: \dfrac{dE}{dt}=-1{,}5\times10^{12}\\ \dfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}}.
O enunciado pede:
(a) A corrente de deslocamento total entre as placas (isto é, a corrente de deslocamento associada à variação do fluxo elétrico através da área das placas).
(b) O campo magnético induzido a r=4{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}04\\ \mathrm{m} do centro (ou seja, em um círculo concêntrico de raio r menor que R).

Passo 2

Conceito e fórmula básica: corrente de deslocamento.
  • Maxwell introduziu a corrente de deslocamento para corrigir a forma da Lei de Ampère quando o campo elétrico varia no tempo. A expressão que precisamos é a corrente de deslocamento total através de uma superfície S:
I_{\mathrm{d}}=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt},
onde
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m});
  • \Phi_E é o fluxo elétrico através de S, definido por \Phi_E=\iint_S \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}.
No nosso problema o campo elétrico entre as placas é assumido uniforme (mesmo valor em toda a área circular), então o fluxo pela área da placa é simplesmente
\Phi_E = E \cdot A = E\cdot \pi R^2.
Assim, a derivada temporal do fluxo é
\frac{d\Phi_E}{dt}=\pi R^2\frac{dE}{dt}.

Passo 3

Cálculo da corrente de deslocamento total (parte a).
Usando a fórmula:
I_{\mathrm{d}}=\varepsilon_0\,\pi R^2\frac{dE}{dt}.
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro a área:
\pi R^2=\pi(0{,}08)^2=\pi\cdot 0{,}0064\approx 0{,}020106\\ \mathrm{m^2}.
Agora calculamos I_{\mathrm{d}}:
I_{\mathrm{d}}=\left(8{,}854187817\times10^{-12}\right)\cdot 0{,}020106\cdot\left(-1{,}5\times10^{12}\right).
Fazendo as contas passo a passo:
8{,}854187817\times10^{-12}\cdot\left(-1{,}5\times10^{12}\right)=-13{,}2812817255,
e multiplicando pela área,
I_{\mathrm{d}}\approx -13{,}2812817255\cdot 0{,}020106\approx -0{,}267\\ \mathrm{A}.
Interpretação do sinal: o valor negativo vem de \dfrac{dE}{dt}<0. Isso indica que o fluxo elétrico está diminuindo; a corrente de deslocamento “equivalente” tem direção oposta à adotada como positiva para E. Em muitos problemas práticos reporta-se apenas o módulo 0{,}267\\ \mathrm{A} e indica-se a direção separadamente (ver abaixo).

Passo 4

Conceito e fórmula para o campo magnético induzido (parte b).
  • A Lei de Ampère-Maxwell (forma integral) diz:
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell}=\mu_0\left(I_{\mathrm{livre,\,enc}}+\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\right),
onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}), e o segundo termo à direita é a corrente de deslocamento através da superfície limitada pela curva \mathcal{C}.
  • Para simetria cilíndrica (placas circulares, campo elétrico axial uniforme), o campo magnético induzido \mathbf{B} será tangencial (circunferencial), de módulo B(r) constante ao longo de uma circunferência de raio r centrada no eixo. Então o lado esquerdo da lei é simplesmente B(2\pi r).
  • No nosso caso não há corrente livre atravessando a região entre as placas, então I_{\mathrm{livre,enc}}=0. O termo que entra é apenas a corrente de deslocamento “penalizada” pela área do laço até o raio considerado. Importante: ao calcular B em um ponto com r<R (caso dado r=0{,}04\\ \mathrm{m}<R), a área que importa para o fluxo é a área do círculo de raio r, isto é A_r=\pi r^2.
Aplicando a lei:
B(2\pi r)=\mu_0\varepsilon_0\frac{d}{dt}\left(E\cdot \pi r^2\right)=\mu_0\varepsilon_0\pi r^2\frac{dE}{dt}.
Isolando B:
B(r)=\frac{\mu_0\varepsilon_0 r}{2}\frac{dE}{dt}.
Aqui:
  • r é a distância radial do centro onde queremos B;
  • \dfrac{dE}{dt} é a taxa temporal do campo elétrico fornecida.

Passo 5

Cálculo numérico do campo magnético em r=0{,}04\\ \mathrm{m}.
Usando
B(r)=\frac{\mu_0\varepsilon_0 r}{2}\frac{dE}{dt},
com \mu_0\varepsilon_0\approx 1{,}112650056\times10^{-17}\\ \mathrm{s^2/m^2} (ou usar \mu_0=4\pi\times10^{-7} e \varepsilon_0 separadamente), r=0{,}04\\ \mathrm{m} e \dfrac{dE}{dt}=-1{,}5\times10^{12}\\ \mathrm{V/(m\cdot s)}:
B(0{,}04)=\frac{1{,}112650056\times10^{-17}\cdot 0{,}04}{2}\cdot\left(-1{,}5\times10^{12}\right).
Calculemos passo a passo:
\frac{1{,}112650056\times10^{-17}\cdot 0{,}04}{2}=1{,}112650056\times10^{-17}\cdot 0{,}02\approx 2{,}225300112\times10^{-19},
B(0{,}04)\approx 2{,}225300112\times10^{-19}\cdot\left(-1{,}5\times10^{12}\right)\approx -3{,}338\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
Arredondando de forma razoável:
B(0{,}04)\approx -3{,}34\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
Interpretação do sinal: o campo magnético é tangencial (circunferencial) em torno do eixo. O sinal negativo corresponde à orientação (sentido) relativa escolhida para a integral de linha; em termos físicos, pode-se dizer que B tem direção azimutal (ao redor do eixo das placas) cujo sentido é dado pela regra da mão direita aplicada à direção da corrente de deslocamento equivalente. Como \dfrac{dE}{dt}<0, a corrente de deslocamento tem sentido oposto ao sentido positivo de E; o leitor pode usar a regra da mão direita para relacionar isso ao sentido horário/anti-horário visto de cima dependendo de qual direção foi assumida para E.

Resposta

(a) I_{\mathrm{d}}=-0{,}267\\ \mathrm{A} (módulo \,0{,}267\\ \mathrm{A}, o sinal negativo indica que o fluxo elétrico está diminuindo).
(b) B(r=4{,}0\\ \mathrm{cm})\approx -3{,}34\times10^{-7}\\ \mathrm{T} (campo tangencial ao redor do eixo; o sinal indica o sentido associado à diminuição de E).

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