O operador laplaciano de
é definido por
. Verifique
para
, que
;
para
Passo 1
O enunciado pede pra calcular o laplaciano de f(x,y)=1/(x²+y²) em ℝ² e mostrar que Δf=4f². O conteúdo usado aqui é derivada parcial de segunda ordem, usando a regra da cadeia e do produto.
Passo 2
Escrevemos f em forma de potência: f(x,y)=(x²+y²)⁻¹. Para a derivada parcial em x, aplicamos a regra da cadeia: primeiro derivamos a potência e depois o argumento. A derivada parcial em x fica:
Passo 3
Agora calculamos fₓₓ derivando f_x em x. Usamos a regra do produto em f_x=-2x·(x²+y²)^{-2}:
Simplificando:
Passo 4
Por simetria, para f_{yy} trocamos x por y no resultado de f_{xx}:
Passo 5
Somamos f_{xx}+f_{yy}:
Passo 6
Observamos que (x²+y²)^{-2} é exatamente f², pois f=(x²+y²)^{-1}. Logo Δf=4f².
Resposta
Δf=4f²