O operador laplaciano de R^2 é definido por De. Verifique
para f(x, y)=1x^2+y^2, que De;

Passo 1

O enunciado pede pra calcular o laplaciano de f(x,y)=1/(x²+y²) em ℝ² e mostrar que Δf=4f². O conteúdo usado aqui é derivada parcial de segunda ordem, usando a regra da cadeia e do produto.

Passo 2

Escrevemos f em forma de potência: f(x,y)=(x²+y²)⁻¹. Para a derivada parcial em x, aplicamos a regra da cadeia: primeiro derivamos a potência e depois o argumento. A derivada parcial em x fica:
fx=partialpartial x(x²+y²)^-1=-1,(x²+y²)^-2cdot2x=-2x,(x²+y²)^-2 ²²²²²²

Passo 3

Agora calculamos fₓₓ derivando f_x em x. Usamos a regra do produto em f_x=-2x·(x²+y²)^{-2}:
fxx=partialpartial xl(-2x,(x²+y²)^-2r)=-2,(x²+y²)^-2+(-2x)cdot(-2),(x²+y²)^-3cdot2x ²²²²²²
Simplificando:
fxx=-2(x²+y²)^-2+8x²(x²+y²)^-3 ²²²²²

Passo 4

Por simetria, para f_{yy} trocamos x por y no resultado de f_{xx}:
fyy=-2(x²+y²)^-2+8y²(x²+y²)^-3 ²²²²²

Passo 5

Somamos f_{xx}+f_{yy}:
Δf=fxx+fyy=-4(x²+y²)^-2+8(x²+y²)(x²+y²)^-3=4(x²+y²)^-2 ²²²²²²²²

Passo 6

Observamos que (x²+y²)^{-2} é exatamente f², pois f=(x²+y²)^{-1}. Logo Δf=4f².

Resposta

Δf=4f²

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