Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares:
integral duplaR(x^2+y^2) d A, onde R é a região interior à circunferência x^2+y^2-4 y=0 e externa à circunferência x^2+y^2-2 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaR(x^2+y^2),dA
onde R é a coroa circular interna à circunferência
x^2+y^2-4y=0
e externa à circunferência
x^2+y^2-2y=0
O conteúdo é mudança para coordenadas polares, usando
x=rcostheta, y=rsintheta, dA = r,dr,dtheta

Passo 2

Transformamos as equações das circunferências em polares:
x^2+y^2-4y=0 ;Longrightarrow; r^2-4rsintheta=0 ;Longrightarrow; r=4sintheta,
x^2+y^2-2y=0 ;Longrightarrow; r^2-2rsintheta=0 ;Longrightarrow; r=2sintheta
Como r>=0, precisamos de sintheta>=0, logo thetain[0,pi]. A região R em polares fica
2sintheta ;<=; r;<=; 4sintheta, 0<=theta<=pi

Passo 3

No integrando x^2+y^2=r^2 e com dA=r,dr,dtheta, montamos
integral duplaR(x^2+y^2),dA =integral0^pi!!integral2sintheta^4sintheta r^2,(r,dr,dtheta) =integral0^pi!!integral2sintheta^4sintheta r^3,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r:
integral r^3,dr = r^44,
avaliando de r=2sintheta a r=4sintheta
(4sintheta)^4 - (2sintheta)^44 =256sin^4theta - 16sin^4theta4 =60,sin^4theta
Assim o duplo integral vira
integral0^pi60,sin^4theta,dtheta

Passo 5

Para integral0^pisin^4theta,dtheta usamos a identidade
sin^4theta =3 - 4cos(2theta)+cos(4theta)8,
cujas integrais de cos(2theta) e cos(4theta) em [0,pi] são zero. Logo
integral0^pisin^4theta,dtheta =integral0^pi38,dtheta =38,pi
Multiplicando por 60 obtemos
60cdot3pi8=180pi8=45pi2

Resposta

45pi2

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