Verifique o teo. da divergência p/ \vec{A}=(3 x-2 z) \vec{i}+\left(x y^{2} z\right) \vec{j}+\left(x^{2} z\right) \vec{k} através do domínio limitado por x=0, x=1, y=0, y=1 e z=0, z=1
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial \vec{A} e pede para verificar o teorema da divergência no domínio delimitado por x=0, x=1, y=0, y=1, z=0 e z=1.
O que se pede: verificar que a integral tripla do divergente de \vec{A} sobre V é igual ao fluxo de \vec{A} através da superfície \partial V do cubo (ou seja, confirmar o teorema da divergência para esse campo e esse domínio).
Passo 2
Vou lembrar o que diz o teorema que vamos verificar (aqui explico devagarinho para ficar claro):
Cada derivada parcial significa: “variação de A_x quando mudo x mantendo y,z fixos”, e assim por diante.
\hat{n} é o versor normal exterior à superfície \partial V.
dV é um elemento de volume (aqui dV=dx\,dy\,dz) e dS é um elemento de área na superfície.
A verificação consiste em calcular o lado esquerdo (integral do divergente sobre o volume) e o lado direito (fluxo pela superfície) e mostrar que resultam no mesmo valor.
Passo 3
Calcular a divergência de \vec{A}. Primeiro identifico as componentes:
Comentário didático rápido: note que z e x que aparecem multiplicando não são afetados quando derivamos em relação a y (eles são tratados como constantes na derivada parcial em y), por isso \partial( xy^{2}z)/\partial y = x z \cdot 2y.
Passo 4
Calcular a integral tripla do divergente sobre V. Escrevo a integral e escolho integrar na ordem dz\,dy\,dx:
Portanto o lado esquerdo (integral do divergente) é \dfrac{43}{12}.
Passo 6
Agora calculo o fluxo de \vec{A} pela superfície do cubo \partial V. A superfície \partial V tem seis faces planas; em cada face usamos o versor normal exterior e calculamos
Vou tratar cada face separadamente. Em todos os casos a superfície é um retângulo unitário, então dS será produto dos dois parâmetros (por exemplo dy\,dz na face x= const).
Passo 7
Face x=1 (face direita). O versor normal exterior é \hat{n}=\hat{i}. Em x=1 temos