Verifique o teo. da divergência p/ \vec{A}=(3 x-2 z) \vec{i}+\left(x y^{2} z\right) \vec{j}+\left(x^{2} z\right) \vec{k} através do domínio limitado por x=0, x=1, y=0, y=1 e z=0, z=1

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{A} e pede para verificar o teorema da divergência no domínio delimitado por x=0, x=1, y=0, y=1, z=0 e z=1.
Informações fornecidas:
\vec{A}=(3x-2z)\,\vec{i}+\bigl(xy^{2}z\bigr)\,\vec{j}+\bigl(x^{2}z\bigr)\,\vec{k}.
O domínio V é o cubo unitário
0\le x\le1,\quad 0\le y\le1,\quad 0\le z\le1.
O que se pede: verificar que a integral tripla do divergente de \vec{A} sobre V é igual ao fluxo de \vec{A} através da superfície \partial V do cubo (ou seja, confirmar o teorema da divergência para esse campo e esse domínio).

Passo 2

Vou lembrar o que diz o teorema que vamos verificar (aqui explico devagarinho para ficar claro):
\iiint_{V} (\nabla\cdot\vec{A})\,dV \;=\; \iint_{\partial V} \vec{A}\cdot\hat{n}\,dS.
Explicando os termos:
  • \nabla\cdot\vec{A} é a divergência de \vec{A}. Para \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) ela é definida por
\nabla\cdot\vec{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}.
Cada derivada parcial significa: “variação de A_x quando mudo x mantendo y,z fixos”, e assim por diante.
  • \hat{n} é o versor normal exterior à superfície \partial V.
  • dV é um elemento de volume (aqui dV=dx\,dy\,dz) e dS é um elemento de área na superfície.
A verificação consiste em calcular o lado esquerdo (integral do divergente sobre o volume) e o lado direito (fluxo pela superfície) e mostrar que resultam no mesmo valor.

Passo 3

Calcular a divergência de \vec{A}. Primeiro identifico as componentes:
A_x=3x-2z,\quad A_y=xy^{2}z,\quad A_z=x^{2}z.
Agora aplico a definição:
\frac{\partial A_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(3x-2z)=3,
\frac{\partial A_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(xy^{2}z)=2xyz,
\frac{\partial A_z}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}z)=x^{2}.
Somando:
\nabla\cdot\vec{A}=3+2xyz+x^{2}.
Comentário didático rápido: note que z e x que aparecem multiplicando não são afetados quando derivamos em relação a y (eles são tratados como constantes na derivada parcial em y), por isso \partial( xy^{2}z)/\partial y = x z \cdot 2y.

Passo 4

Calcular a integral tripla do divergente sobre V. Escrevo a integral e escolho integrar na ordem dz\,dy\,dx:
\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{A})\,dV =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\bigl(3+2xyz+x^{2}\bigr)\,dz\,dy\,dx.
Integro primeiro em z. Para cada x,y fixos:
\int_{0}^{1}\bigl(3+2xyz+x^{2}\bigr)\,dz = \int_{0}^{1}3\,dz + \int_{0}^{1}2xyz\,dz + \int_{0}^{1}x^{2}\,dz.
Calculo cada peça:
\int_{0}^{1}3\,dz = 3\cdot(1-0)=3,
\int_{0}^{1}2xyz\,dz = 2xy\int_{0}^{1}z\,dz = 2xy\cdot\frac{1}{2}=xy,
\int_{0}^{1}x^{2}\,dz = x^{2}\cdot(1-0)=x^{2}.
Somando:
\int_{0}^{1}\bigl(3+2xyz+x^{2}\bigr)\,dz = 3 + xy + x^{2}.

Passo 5

Continuo a integrar sobre y e depois x:
\int_{0}^{1}\bigl(3+xy+x^{2}\bigr)\,dy = \int_{0}^{1}3\,dy + \int_{0}^{1}xy\,dy + \int_{0}^{1}x^{2}\,dy.
Calculo:
\int_{0}^{1}3\,dy = 3,
\int_{0}^{1}xy\,dy = x\int_{0}^{1}y\,dy = x\cdot\frac{1}{2}=\frac{x}{2},
\int_{0}^{1}x^{2}\,dy = x^{2}\cdot 1 = x^{2}.
Logo a integral em y 3+\dfrac{x}{2}+x^{2}. Agora integro em x:
\int_{0}^{1}\left(3+\frac{x}{2}+x^{2}\right)\,dx = \int_{0}^{1}3\,dx + \int_{0}^{1}\frac{x}{2}\,dx + \int_{0}^{1}x^{2}\,dx.
Calculo:
\int_{0}^{1}3\,dx = 3,
\int_{0}^{1}\frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4},
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
Somando:
\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{A})\,dV = 3+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}.
Colocando em denominador comum 12:
3+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{36}{12}+\frac{3}{12}+\frac{4}{12}=\frac{43}{12}.
Portanto o lado esquerdo (integral do divergente) é \dfrac{43}{12}.

Passo 6

Agora calculo o fluxo de \vec{A} pela superfície do cubo \partial V. A superfície \partial V tem seis faces planas; em cada face usamos o versor normal exterior e calculamos
\iint_{\partial V}\vec{A}\cdot\hat{n}\,dS=\sum_{\text{faces}} \iint_{\text{face}} \vec{A}\cdot\hat{n}\,dS.
Vou tratar cada face separadamente. Em todos os casos a superfície é um retângulo unitário, então dS será produto dos dois parâmetros (por exemplo dy\,dz na face x= const).

Passo 7

Face x=1 (face direita). O versor normal exterior é \hat{n}=\hat{i}. Em x=1 temos
\vec{A}\cdot\hat{n}=A_x(1,y,z)=3\cdot1-2z=3-2z.
A integral sobre a face (variando y,z de 0 a 1) é
\iint_{x=1} \vec{A}\cdot\hat{n}\,dS = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(3-2z)\,dy\,dz.
Integro em y (simplesmente multiplica por 1) e depois em z:
\int_{0}^{1}(3-2z)\,dz = 3\cdot1 -2\cdot\frac{1}{2} = 3-1 = 2.
Portanto o fluxo pela face x=1 é 2.

Passo 8

Face x=0 (face esquerda). O versor normal exterior é \hat{n}=-\hat{i}. Em x=0,
A_x(0,y,z)=3\cdot0-2z=-2z,
então
\vec{A}\cdot\hat{n}=-A_x(0,y,z)= -(-2z)=2z.
Fluxo nessa face:
\iint_{x=0}\vec{A}\cdot\hat{n}\,dS = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}2z\,dy\,dz = \int_{0}^{1}2z\cdot 1\,dz = 2\cdot\frac{1}{2}=1.
Logo fluxo pela face x=0 é 1.

Passo 9

Faces em y:
  • Face y=1 (normal \hat{n}=\hat{j}). Em y=1:
A_y(x,1,z)=x\cdot 1^{2}\cdot z = xz.
O fluxo é
\iint_{y=1} \vec{A}\cdot\hat{n}\,dS = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} xz\,dx\,dz = \left(\int_{0}^{1}x\,dx\right)\left(\int_{0}^{1}z\,dz\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.
  • Face y=0 (normal \hat{n}=-\hat{j}). Em y=0 temos A_y(x,0,z)=x\cdot0^{2}\cdot z=0, portanto o fluxo é 0.

Passo 10

Faces em z:
  • Face z=1 (normal \hat{n}=\hat{k}). Em z=1:
A_z(x,y,1)=x^{2}\cdot 1 = x^{2}.
Fluxo:
\iint_{z=1}\vec{A}\cdot\hat{n}\,dS = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} x^{2}\,dx\,dy = \left(\int_{0}^{1}x^{2}\,dx\right)\left(\int_{0}^{1}dy\right) = \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}.
  • Face z=0 (normal \hat{n}=-\hat{k}). Em z=0 temos A_z(x,y,0)=x^{2}\cdot0=0, então o fluxo é 0.

Passo 11

Somando os fluxos de todas as faces:
\text{fluxo total} = \underbrace{2}_{x=1} + \underbrace{1}_{x=0} + \underbrace{\tfrac{1}{4}}_{y=1} + \underbrace{0}_{y=0} + \underbrace{\tfrac{1}{3}}_{z=1} + \underbrace{0}_{z=0}.
Somando:
2+1+\frac{1}{4}+\frac{1}{3} = 3 + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{43}{12}.
Portanto o fluxo através da superfície \partial V também é \dfrac{43}{12}.
Conclusão: a integral tripla do divergente sobre V e o fluxo pela superfície \partial V coincidem, como afirma o teorema da divergência.

Resposta

\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{A})\,dV \;=\; \iint_{\partial V}\vec{A}\cdot\hat{n}\,dS \;=\; \frac{43}{12}.

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