Verifique se
é independente do percurso e calcule o valor dessa integral.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Verificar se a integral de linha
é independente do percurso entre os pontos
e
.
2) Calcular o valor dessa integral caso seja independente do percurso.
2) Calcular o valor dessa integral caso seja independente do percurso.
Informações dadas (relevantes):
- O integrando está na forma
com
- Os pontos inicial e final são
e . - As funções
e são polinômios (portanto definidas e diferenciáveis em todo ).
Passo 2
Conceito importante e critério prático (explicado de forma simples):
- Uma forma diferencial
é chamada de exata se existe uma função potencial tal que . Quando isso ocorre, a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos valores de nesses pontos — ou seja, é independente do percurso. - Um teste prático: se
e têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conectado (por exemplo, todo ) e se
em todo esse domínio, então a forma é exata (logo independente do percurso).
- Intuição leve: essa igualdade garante que não há “rotação” local do campo; assim existe uma função
cujo gradiente fornece e .
Passo 3
Aplicando o teste ao nosso caso — cálculo das derivadas parciais:
Como
para todo
e como
são definidas em todo
(que é simplesmente conexo), concluímos que a forma é exata — portanto a integral é independente do percurso. (Boa notícia!)
Passo 4
Como a forma é exata, existe uma função potencial
tal que
Método padrão para encontrar
: integrar
em relação a
e adicionar uma função arbitrária de
(pois ao derivar em
essa função some). Assim:
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Determinar
: derivamos a expressão obtida para
em relação a
e igualamos a
:
Igualando a
obtemos
Integrando
:
onde
é constante irrelevante para a diferença de potencial. Portanto uma escolha conveniente para a função potencial é
Passo 6
Avaliar a integral como diferença de potenciais:
Calculemos
:
Somando em frações:
Logo
.
Agora
:
Diferença:
Passo 7
Resumo final (conclusão): a integral é independente do percurso e o seu valor entre
e
é
. Força aí — quando encontrar um problema desses na prova, basta checar a igualdade das parciais, achar
e avaliar a diferença nos pontos!
Resposta
Sim, a integral é independente do percurso.