Verifique se \int_{(1,2)}^{3,5}\left[\left(2 x y+y^{2}\right) d x+\left(x^{2}+2 x y-y\right) d y\right] é independente do percurso e calcule o valor dessa integral.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Verificar se a integral de linha
\int_{(1,2)}^{(3,5)}\left[\left(2 x y+y^{2}\right)\,dx+\left(x^{2}+2 x y-y\right)\,dy\right]
é independente do percurso entre os pontos (1,2) e (3,5).
2) Calcular o valor dessa integral caso seja independente do percurso.
Informações dadas (relevantes):
  • O integrando está na forma P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy com
P(x,y)=2xy+y^{2}, \qquad Q(x,y)=x^{2}+2xy-y.
  • Os pontos inicial e final são (1,2) e (3,5).
  • As funções P e Q são polinômios (portanto definidas e diferenciáveis em todo \mathbb{R}^2).

Passo 2

Conceito importante e critério prático (explicado de forma simples):
  • Uma forma diferencial P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy é chamada de exata se existe uma função potencial F(x,y) tal que dF = P\,dx+Q\,dy. Quando isso ocorre, a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos valores de F nesses pontos — ou seja, é independente do percurso.
  • Um teste prático: se P e Q têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conectado (por exemplo, todo \mathbb{R}^2) e se
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
em todo esse domínio, então a forma é exata (logo independente do percurso).
  • Intuição leve: essa igualdade garante que não há “rotação” local do campo; assim existe uma função F cujo gradiente fornece P e Q.

Passo 3

Aplicando o teste ao nosso caso — cálculo das derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy+y^{2})=2x+2y,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+2xy-y)=2x+2y.
Como \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} para todo (x,y) e como P,Q são definidas em todo \mathbb{R}^2 (que é simplesmente conexo), concluímos que a forma é exata — portanto a integral é independente do percurso. (Boa notícia!)

Passo 4

Como a forma é exata, existe uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=P(x,y)=2xy+y^{2}, \qquad \frac{\partial F}{\partial y}=Q(x,y)=x^{2}+2xy-y.
Método padrão para encontrar F: integrar P em relação a x e adicionar uma função arbitrária de y (pois ao derivar em x essa função some). Assim:
F(x,y)=\int (2xy+y^{2})\,dx = x^{2}y + x y^{2} + g(y),
onde g(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Determinar g(y): derivamos a expressão obtida para F em relação a y e igualamos a Q:
\frac{\partial F}{\partial y}=x^{2}+2xy+g'(y).
Igualando a Q(x,y)=x^{2}+2xy-y obtemos
x^{2}+2xy+g'(y)=x^{2}+2xy-y \quad\Rightarrow\quad g'(y)=-y.
Integrando g'(y):
g(y)=\int -y\,dy = -\frac{y^{2}}{2}+C,
onde C é constante irrelevante para a diferença de potencial. Portanto uma escolha conveniente para a função potencial é
F(x,y)=x^{2}y + x y^{2} - \frac{y^{2}}{2}.

Passo 6

Avaliar a integral como diferença de potenciais:
\int_{(1,2)}^{(3,5)} P\,dx+Q\,dy = F(3,5)-F(1,2).
Calculemos F(3,5):
F(3,5)= (3)^{2}\cdot 5 + 3\cdot 5^{2} - \frac{5^{2}}{2} =9\cdot 5 + 3\cdot 25 - \frac{25}{2} =45 + 75 - \frac{25}{2}.
Somando em frações:
45+75=120=\frac{240}{2},\quad \frac{240}{2}-\frac{25}{2}=\frac{215}{2}.
Logo F(3,5)=\frac{215}{2}.
Agora F(1,2):
F(1,2)= (1)^{2}\cdot 2 + 1\cdot 2^{2} - \frac{2^{2}}{2} =2+4-\frac{4}{2}=2+4-2=4.
Diferença:
F(3,5)-F(1,2)=\frac{215}{2}-4=\frac{215}{2}-\frac{8}{2}=\frac{207}{2}.

Passo 7

Resumo final (conclusão): a integral é independente do percurso e o seu valor entre (1,2) e (3,5) é \dfrac{207}{2}. Força aí — quando encontrar um problema desses na prova, basta checar a igualdade das parciais, achar F e avaliar a diferença nos pontos!

Resposta

Sim, a integral é independente do percurso.
\displaystyle \frac{207}{2}

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