O enunciado pede duas coisas: esboçar o gráfico da função e, no intervalo 0 \le t \le 3\), decidir se \(f\) é contínua, seccionalmente contínua ou nenhuma das duas. A função dada é
\[f(t)= \begin{cases}t^{2}, & 0 \leq t \leq 1 \\\ (t-1)^{-1}, & 1<t \leq 2 \\\\ 1, & 2<t \leq 3\end{cases}
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Para 0\le t\le 1\], \(f(t)=t^{2}. Em particular f(0)=0 e f(1)=1.
Para 1<t\le 2, f(t)=(t-1)^{-1}. Em particular f(2)=(2-1)^{-1}=1.
Para 2<t\le 3, f(t)=1. Em particular f(3)=1.
Observação: a função está definida em todo o intervalo fechado [0,3] (cada subintervalo tem sua definição).
Passo 2
Vou lembrar (como uma mini-aula) o que significa continuidade e o que normalmente entendemos por “seccionalmente contínua”.
Continuidade em um ponto a: dizemos que f é contínua em a se \lim_{x\to a} f(x)=f(a). Isso exige que o limite (quando existir) seja finito e igual ao valor da função.
Para pontos interiores de um intervalo, o limite \lim_{x\to a} f(x) existe se e somente se os limites laterais existem e são iguais: \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x).
Continuidade em um intervalo (por exemplo [0,3]) significa continuidade em todo ponto desse intervalo (nos extremos usamos limites laterais: à esquerda em 3 e à direita em 0).
Definição prática de “seccionalmente contínua” (piecewise continuous) que vou usar aqui: f é seccionalmente contínua em [0,3] se ela for contínua em todo ponto exceto num conjunto finito de pontos, e em cada ponto de descontinuidade as duas limites laterais existirem e forem finitos (ou seja, permitem descontinuidades do tipo salto, mas não descontinuidades que envolvam limites infinitos). Essa é a definição mais comum em exercícios deste estilo.
Passo 3
Verifico a continuidade dentro de cada parte (pedaço) dada:
Na peça \;0\le t\le1,\; f(t)=t^{2}. Polinômios são funções contínuas em todo lugar, portanto t^{2} é contínua em [0,1]. Em particular \lim_{t\to 1^-} f(t)=1 e \lim_{t\to 0^+} f(t)=0.
Na peça \;1<t\le2,\; f(t)=(t-1)^{-1}. A função g(t)=(t-1)^{-1} é contínua em qualquer ponto do seu domínio (1,\infty). Logo g é contínua em (1,2]. Em particular, para 1<t\le2 não há problema interno: por exemplo \lim_{t\to 2^-} (t-1)^{-1}=(2-1)^{-1}=1.
Na peça \;2<t\le3,\; f(t)=1. Constantes são contínuas, então essa peça é contínua em (2,3].
Conclusão parcial: em cada intervalo aberto onde a respectiva fórmula é válida (isto é, em (0,1), em (1,2) e em (2,3)) a função é contínua. O que resta é checar as fronteiras entre as peças: t=1 e t=2, e também os extremos t=0 e t=3.
Quando t\to 1^+ temos t-1\to 0^+, portanto \dfrac{1}{t-1}\to +\infty. Ou seja, o limite à direita não é um número finito; é infinito.
Valor da função no ponto: como t=1 pertence ao primeiro pedaço, f(1)=1.
Conclusência para t=1: os limites laterais não coincidem (o direito é +\infty), então \lim_{t\to 1} f(t) não existe como número finito. Há uma descontinuidade essencial/infinita em t=1. Como o limite direito é infinito, claramente não satisfaz a condição de continuidade e também não satisfaz a condição de “limites laterais finitos” pedida para ser seccionalmente contínua.
Valor da função em t=2: como t=2 pertence ao segundo pedaço, f(2)=(2-1)^{-1}=1.
Como \lim_{t\to 2^-} f(t)=\lim_{t\to 2^+} f(t)=f(2)=1, a função é contínua em t=2.
Passo 6
Análise dos extremos t=0 e t=3:
Em t=0: só faz sentido verificar o limite por direita. \lim_{t\to 0^+} f(t)=\lim_{t\to 0^+} t^{2}=0 e f(0)=0. Então f é contínua em t=0 (continuidade no extremo direito).
Em t=3: só faz sentido verificar o limite por esquerda. \lim_{t\to 3^-} f(t)=\lim_{t\to 3^-} 1 =1 e f(3)=1. Logo f é contínua em t=3.
Passo 7
Instruções para esboçar o gráfico (descrição passo a passo para desenhar à mão):
No intervalo 0\le t\le1: desenhe a parábola y=t^{2} que vai de (0,0) até (1,1). Marque o ponto (1,1) com um ponto preenchido porque f(1)=1.
Em t=1: desenhe uma assíntota vertical em t=1 à direita da qual a curva (t-1)^{-1} “vem de cima” (tende a +\infty quando t\to1^+). À esquerda da assíntota, a parábola terminou no ponto preenchido (1,1).
No intervalo 1<t\le2: desenhe a hipérbole y=(t-1)^{-1} que sai de +\infty logo à direita de t=1 e decresce até o ponto (2,1). Marque (2,1) com ponto preenchido porque f(2)=1.
No intervalo 2<t\le3: desenhe a reta horizontal y=1 de t=2 até t=3 (incluir os extremos; em 2 já temos o ponto preenchido e em 3 também).
Resumo visual em palavras: parábola de baixa altura até (1,1); à direita de t=1 há uma assíntota vertical; uma ramo hiperbólico decrescendo de +\infty até (2,1); daí em diante uma linha horizontal y=1 até t=3.
Passo 8
Conclusão sobre continuidade e seccionalidade:
A função não é contínua em todo o intervalo [0,3] porque existe uma descontinuidade em t=1 (o limite direito é infinito).
Para ser seccionalmente contínua (na definição usual que exige limites laterais finitos nas descontinuidades), seria necessário que todas as descontinuidades fossem do tipo salto (limites laterais finitos). Aqui em t=1 o limite lateral direito é +\infty, logo a condição falha.
Logo a classificação final é que a função não é contínua em [0,3] e também não é seccionalmente contínua no sentido usual.
Resposta
Nenhuma das duas — f não é contínua em [0,3] e também não é seccionalmente contínua (há descontinuidade infinita em t=1).