Verifique o teorema de Green no plano para \oint_{C}\left[\left(3 x^{2} y-x^{3}\right) d x+\left(x^{2}+y^{2}\right) d y\right], sendo C a curva fechada do domínio limitado entre y=x^{2} e y=x.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde C é a curva fechada que é limite do domínio D entre as curvas y=x^{2} e y=x. Informações dadas e pontos importantes do enunciado:
P(x,y)=3x^{2}y-x^{3},\qquad Q(x,y)=x^{2}+y^{2}.
O domínio D é a região no plano limitada superiormente por y=x e inferiormente por y=x^{2}. As interseções das curvas vêm de
x^{2}=x \implies x(x-1)=0 \implies x=0 \text{ ou } x=1,
logo as interseções são (0,0) e (1,1). Assumimos a orientação positiva (contra-horária) de C, que é o usual quando se aplica o resultado de integração sobre regiões planas.
Passo 2
Vou usar um resultado que relaciona uma integral de linha em contorno de uma região com uma integral dupla sobre essa região (aqui vou explicar o que diz esse resultado e por que podemos usá-lo).
O teorema (que vou aplicar) afirma que, para uma curva simples fechada C positivamente orientada que limita uma região D suficientemente “bonita” (contínua, com fronteira simples), vale:
Explicando: \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x (tratando y como constante) e \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y (tratando x como constante). O integrando \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} é uma função definida em D que vamos integrar sobre toda a área de D.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais que aparecem na fórmula. Temos
Agora devemos integrar essa função sobre a região D. Precisamos parametrizar convenientemente D. Como as fronteiras são dadas por funções do tipo y= função de x, é natural tomar x como variável externa. Já vimos que as curvas se cruzam em x=0 e x=1. Para um x entre 0 e 1, a ordenada inferior é y=x^{2} e a superior é y=x. Logo podemos escrever a integral dupla como