Verifique o teorema de Green no plano para \oint_{C}\left[\left(3 x^{2} y-x^{3}\right) d x+\left(x^{2}+y^{2}\right) d y\right], sendo C a curva fechada do domínio limitado entre y=x^{2} e y=x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C}\left[\left(3 x^{2} y-x^{3}\right)\,dx+\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy\right]
onde C é a curva fechada que é limite do domínio D entre as curvas y=x^{2} e y=x. Informações dadas e pontos importantes do enunciado:
P(x,y)=3x^{2}y-x^{3},\qquad Q(x,y)=x^{2}+y^{2}.
O domínio D é a região no plano limitada superiormente por y=x e inferiormente por y=x^{2}. As interseções das curvas vêm de
x^{2}=x \implies x(x-1)=0 \implies x=0 \text{ ou } x=1,
logo as interseções são (0,0) e (1,1). Assumimos a orientação positiva (contra-horária) de C, que é o usual quando se aplica o resultado de integração sobre regiões planas.

Passo 2

Vou usar um resultado que relaciona uma integral de linha em contorno de uma região com uma integral dupla sobre essa região (aqui vou explicar o que diz esse resultado e por que podemos usá-lo).
O teorema (que vou aplicar) afirma que, para uma curva simples fechada C positivamente orientada que limita uma região D suficientemente “bonita” (contínua, com fronteira simples), vale:
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Explicando: \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x (tratando y como constante) e \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y (tratando x como constante). O integrando \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} é uma função definida em D que vamos integrar sobre toda a área de D.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais que aparecem na fórmula. Temos
Q(x,y)=x^{2}+y^{2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=2x,
porque ao derivar x^{2} em relação a x obtemos 2x e y^{2} é tratado como constante (derivada zero). E
P(x,y)=3x^{2}y-x^{3}\quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial y}=3x^{2},
pois 3x^{2}y derivado em relação a y 3x^{2} e -x^{3} não depende de y, então deriva zero.
Portanto o integrando do teorema é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2x-3x^{2}.

Passo 4

Agora devemos integrar essa função sobre a região D. Precisamos parametrizar convenientemente D. Como as fronteiras são dadas por funções do tipo y= função de x, é natural tomar x como variável externa. Já vimos que as curvas se cruzam em x=0 e x=1. Para um x entre 0 e 1, a ordenada inferior é y=x^{2} e a superior é y=x. Logo podemos escrever a integral dupla como
\iint_{D} (2x-3x^{2})\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=x^{2}}^{y=x} (2x-3x^{2})\,dy\right)dx.
Observação útil: a função integranda 2x-3x^{2} depende só de x, não de y. Isso simplifica a integral interna.

Passo 5

Calculemos a integral interna em y. Como 2x-3x^{2} é constante em relação a y, temos
\int_{y=x^{2}}^{y=x} (2x-3x^{2})\,dy = (2x-3x^{2})\bigl(y\bigr)\Big|_{y=x^{2}}^{y=x} = (2x-3x^{2})(x - x^{2}).
Agora simplificamos o produto. Observando fator comum:
(2x-3x^{2})(x-x^{2}) = x(2-3x)\cdot x(1-x) = x^{2}(2-3x)(1-x).
Expandindo (2-3x)(1-x):
(2-3x)(1-x)=2-2x-3x+3x^{2}=2-5x+3x^{2}.
Multiplicando por x^{2} obtemos a função a ser integrada em x:
x^{2}(2-5x+3x^{2}) = 2x^{2}-5x^{3}+3x^{4}.

Passo 6

Integramos agora em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1} \left(2x^{2}-5x^{3}+3x^{4}\right)\,dx.
Calculemos primitivais termo a termo:
\int 2x^{2}\,dx = \frac{2}{3}x^{3},\qquad \int -5x^{3}\,dx = -\frac{5}{4}x^{4},\qquad \int 3x^{4}\,dx = \frac{3}{5}x^{5}.
Assim a integral definida é
\left[\frac{2}{3}x^{3}-\frac{5}{4}x^{4}+\frac{3}{5}x^{5}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}-\frac{5}{4}+\frac{3}{5}.

Passo 7

Faça as contas finais com um denominador comum. Um denominador comum conveniente é 60:
\frac{2}{3}=\frac{40}{60},\qquad \frac{5}{4}=\frac{75}{60},\qquad \frac{3}{5}=\frac{36}{60}.
Somando:
\frac{40}{60}-\frac{75}{60}+\frac{36}{60}=\frac{40-75+36}{60}=\frac{1}{60}.

Resposta

\dfrac{1}{60}

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