y^prime prime prime=sen x+cos x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de terceira ordem não–homogênea
y''' = sin x + cos x
O conteúdo abordado é a solução geral de EDOs lineares com coeficientes constantes, que exige encontrar (1) a solução da homogênea associada e (2) uma solução particular da não–homogênea.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da parte homogênea
y'''=0
A equação característica é
r^3=0,
cuja raiz é r=0 com multiplicidade 3. Portanto a solução homogênea é
yc = C1 + C2,x + C3,x^2,
onde C1,C2,C3 são constantes de integração.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp para
y'''=sin x + cos x
usando o método dos coeficientes a determinar. Como o termo não–homogêneo é combinação de sin x e cos x, propomos
yp = Asin x + Bcos x
Calculamos as derivadas até a terceira:
yp' = Acos x - Bsin x,
yp'' = -Asin x - Bcos x,
yp''' = -Acos x + Bsin x
Queremos yp''' = sin x + cos x, logo igualamos coeficientes:
- Acos x + Bsin x = sin x + cos x
Isso dá o sistema
B = 1, -,A = 1,
portanto
A = -1, B = 1,
e
yp = -sin x + cos x

Passo 4

A solução geral da equação não–homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yc + yp = C1 + C2,x + C3,x^2 ;+; l(cos x - sin xr)

Resposta

boxedy(x) = C1 + C2,x + C3,x^2 + cos x - sin x,
com C1,C2,C3 constantes arbitrárias.

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