Verifique o teorema de Green para ointgamma[(4 x^3+y^2) d x+(5 x-y) d y], onde gamma é a elipse dada por x^24+y^29=1.

Passo 1

O enunciado pede verificar o Teorema de Green para
ointgammal[(4x^3+y^2),dx + (5x - y),dyr]
onde gamma é a elipse
x^24 + y^29 = 1
O Teorema de Green diz que, se P e Q têm derivadas parciais contínuas em uma região D limitada por gamma, então
ointgammaP,dx + Q,dy = integral duplaDl(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA
Vamos aplicar isso.

Passo 2

Identificamos
P(x,y) = 4x^3 + y^2, Q(x,y) = 5x - y
Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = 5, partial Ppartial y = 2y
Logo,
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 5 - 2y

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
ointgamma(4x^3+y^2),dx + (5x-y),dy = integral duplaD(5 - 2y),dA,
com D sendo o interior da elipse tfracx^24+tfracy^29<=1.

Passo 4

Para calcular integral duplaD(5-2y),dA usamos:
  1. A área de D é pi ab = picdot2cdot3 = 6pi.
  2. Como D é simétrico em relação ao eixo x, tem-se integral duplaDy,dA = 0.
    Portanto,
integral duplaD5,dA = 5cdot6pi = 30pi, integral duplaD(-2y),dA = -2cdot0 = 0,
e
integral duplaD(5-2y),dA = 30pi

Resposta

ointgammal[(4x^3+y^2),dx + (5x - y),dyr] = 30pi

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