(9) Determine c1 e c2 de modo que y(x) = c1 e^(2 x) + c2 e^(x) + 2 sen(x) satisfaça as condicooes iniciais y(0)=0, y'(0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisa encontrar os valores de e que fazem essa função satisfazer as condições iniciais e . Isso está dentro do estudo de equações diferenciais, onde a gente tem uma solução geral com constantes que precisamos determinar usando condições específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a condição inicial . Isso significa que quando , o valor de deve ser zero. Vamos substituir na função:
Simplificando as exponenciais e o seno:
Como , temos:
çã

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda condição inicial . Primeiro, precisamos calcular a derivada de em relação a :
Derivando cada termo:
Agora, substituindo :
Sabemos que , então:
çã

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 1, podemos expressar em termos de :
Substituindo isso na Equação 2:
Agora, substituindo na expressão para :

Resposta

Os valores das constantes são e .

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