Verifique o Teorema de Schwarz para as derivadas de terceira ordem, nos pontos admissíveis, de
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Passo 1
O exercício pede pra gente verificar o Teorema de Schwarz (Clairaut) nas derivadas parciais de terceira ordem de uma função de duas variáveis. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e a condição de igualdade das mistas, e vamos precisar mostrar que todas as derivadas mistas de ordem três coincidem em toda a região admissível (aqui é y>0).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de primeira ordem. Temos f(x,y)=4xy−5x³y²+16lny. Logo,
Passo 3
Agora, partindo dessas, obtemos as segundas derivadas:
Passo 4
Como f_{yx}=∂(f_x)/∂y e dá o mesmo que f_{xy}, todas essas segundas derivadas são contínuas em y>0, o que garante f∈C^2 na região.
Passo 5
Agora vamos às terceiras derivadas do tipo “duas vezes em x e uma em y”:
A gente vê que f_{xxy}=f_{xyx}=f_{yxx}.
Passo 6
Por fim, as terceiras derivadas do tipo “uma vez em x e duas em y”:
Também dá f_{xyy}=f_{yxy}=f_{yyx}.
Passo 7
Como todas as derivadas mistas de terceira ordem coincidem (e são contínuas em y>0), confirmamos que o Teorema de Schwarz vale para f nos pontos admissíveis.
Resposta
Todas as derivadas parciais de terceira ordem nas diferentes ordens coincidem (f_{xxy}=f_{xyx}=f_{yxx}=-60xy e f_{xyy}=f_{yxy}=f_{yyx}=-30x^2), logo o Teorema de Schwarz está satisfeito em y>0.