Verifique o Teorema de Schwarz para as derivadas de terceira ordem, nos pontos admissíveis, de f(x, y)=4 x y-5 x^3 y^2+16 ln y.

Passo 1

O exercício pede pra gente verificar o Teorema de Schwarz (Clairaut) nas derivadas parciais de terceira ordem de uma função de duas variáveis. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e a condição de igualdade das mistas, e vamos precisar mostrar que todas as derivadas mistas de ordem três coincidem em toda a região admissível (aqui é y>0).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de primeira ordem. Temos f(x,y)=4xy−5x³y²+16lny. Logo,
fx = 4y - 15x^2y^2,
fy = 4x - 10x^3y + 16y

Passo 3

Agora, partindo dessas, obtemos as segundas derivadas:
fxx = partialpartial x(4y - 15x^2y^2) = -30xy^2,
fxy = partialpartial y(4y - 15x^2y^2) = 4 - 30x^2y,
fyy = partialpartial yl(4x - 10x^3y + tfrac16yr) = -10x^3 - 16y^2

Passo 4

Como f_{yx}=∂(f_x)/∂y e dá o mesmo que f_{xy}, todas essas segundas derivadas são contínuas em y>0, o que garante f∈C^2 na região.

Passo 5

Agora vamos às terceiras derivadas do tipo “duas vezes em x e uma em y”:
fxxx = partialpartial x(-30xy^2) = -30y^2,
fxxy = partialpartial y(-30xy^2) = -60xy,
fxyx = partialpartial x(4 - 30x^2y) = -60xy,
fyxx = partialpartial x(fyx) = -60xy
A gente vê que f_{xxy}=f_{xyx}=f_{yxx}.

Passo 6

Por fim, as terceiras derivadas do tipo “uma vez em x e duas em y”:
fxyy = partialpartial y(4 - 30x^2y) = -30x^2,
fyxy = partialpartial x(fyy) = -30x^2,
fyyx = partialpartial x(-10x^3 - tfrac16y^2) = -30x^2
Também dá f_{xyy}=f_{yxy}=f_{yyx}.

Passo 7

Como todas as derivadas mistas de terceira ordem coincidem (e são contínuas em y>0), confirmamos que o Teorema de Schwarz vale para f nos pontos admissíveis.

Resposta

Todas as derivadas parciais de terceira ordem nas diferentes ordens coincidem (f_{xxy}=f_{xyx}=f_{yxx}=-60xy e f_{xyy}=f_{yxy}=f_{yyx}=-30x^2), logo o Teorema de Schwarz está satisfeito em y>0.

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