Verifique o teorema de Stokes, calculando a integral de linha e a integral de superfície para o campo
e a superfície
.
, S é a parte do paraboloide
interior ao cilindro
, sendo
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que calculemos duas coisas (verificar o Teorema de Stokes):
- Campo vetorial
. - Superfície
é a parte do paraboloide interior ao cilindro . - A normal
é escolhida de forma que (ou seja, a normal aponta para cima). - Pedidos:
- Calcular a integral de linha
, onde é a borda de , com a orientação compatível com a normal escolhida. - Calcular a integral de superfície
. - Verificar que os dois valores coincidem (Teorema de Stokes).
- Calcular a integral de linha
Passo 2
Identificação da curva de contorno
e orientação:
- A interseção do paraboloide com o cilindro
dá a curva , ou seja, uma circunferência de raio no plano . - Como
aponta para cima, pela regra da mão direita a orientação de é contraclockwise (sentido anti-horário) vista de cima. Uma parametrização natural e compatível é
Passo 3
Cálculo da integral de linha
:
- Avaliando
sobre :
- Derivada da parametrização:
- Produto escalar:
- Integração de
a :
Aqui usamos a identidade
para integrar:
E
. Logo
Passo 4
Cálculo de
(explicando o que é):
é o rotor (curl) de
e dá um campo vetorial cujo componente
é
, componente
é
(com sinal negativo na fórmula completa) e componente
é
. Aplicando isso a
:
Calculando as derivadas:
Passo 5
Expressão do elemento de superfície orientado para a superfície
com normal apontando para cima:
- Para uma superfície dada como gráfico
com normal superior, tem-se
- Aqui
e . Então
Passo 6
Cálculo da integral de superfície
:
- Produto escalar do rotor com
:
- Integrar sobre a região plana
(projeção de no plano ), que é o disco :
- Separando:
Pelo simetria do disco,
(a contribuição positiva e negativa de
se cancelam). E
é a área do disco de raio
, que vale
. Portanto
Passo 7
Conclusão e verificação do Teorema de Stokes:
- Obtivemos
Como os dois valores coincidem, o Teorema de Stokes está verificado para este campo e esta superfície (e a orientação escolhida está consistente).