Verifique o teorema de Stokes, calculando a integral de linha e a integral de superfície para o campo \vec{F} e a superfície S.
\vec{F}(x, y, z)=2 y \vec{i}-z \vec{j}+3 \vec{k}, S é a parte do paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} interior ao cilindro x^{2}+y^{2}=1, sendo \vec{n} tal que \vec{n} \cdot \vec{k}>0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que calculemos duas coisas (verificar o Teorema de Stokes):
  • Campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=2y\,\vec{i}-z\,\vec{j}+3\,\vec{k}.
  • Superfície S é a parte do paraboloide z=4-x^{2}-y^{2} interior ao cilindro x^{2}+y^{2}=1.
  • A normal \vec{n} é escolhida de forma que \vec{n}\cdot\vec{k}>0 (ou seja, a normal aponta para cima).
  • Pedidos:
    1. Calcular a integral de linha \displaystyle \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}, onde C=\partial S é a borda de S, com a orientação compatível com a normal escolhida.
    2. Calcular a integral de superfície \displaystyle \iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot \vec{n}\,dS.
    3. Verificar que os dois valores coincidem (Teorema de Stokes).

Passo 2

Identificação da curva de contorno C e orientação:
  • A interseção do paraboloide com o cilindro x^{2}+y^{2}=1 dá a curva \;x^{2}+y^{2}=1,\; z=4-1=3, ou seja, uma circunferência de raio 1 no plano z=3.
  • Como \vec{n} aponta para cima, pela regra da mão direita a orientação de C é contraclockwise (sentido anti-horário) vista de cima. Uma parametrização natural e compatível é
\vec{r}(t) = (\cos t,\,\sin t,\,3),\qquad 0\le t\le 2\pi.

Passo 3

Cálculo da integral de linha \displaystyle \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}:
  • Avaliando \vec{F} sobre \vec{r}(t):
\vec{F}(\vec{r}(t)) = \bigl(2\sin t,\; -3,\; 3\bigr).
  • Derivada da parametrização:
\frac{d\vec{r}}{dt}=(-\sin t,\; \cos t,\; 0).
  • Produto escalar:
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\frac{d\vec{r}}{dt} = (2\sin t)(-\sin t) + (-3)(\cos t) + 3\cdot 0 = -2\sin^{2}t -3\cos t.
  • Integração de 0 a 2\pi:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_{0}^{2\pi}\bigl(-2\sin^{2}t -3\cos t\bigr)\,dt.
Aqui usamos a identidade \sin^{2}t=\dfrac{1-\cos 2t}{2} para integrar:
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\,dt = \int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos 2t}{2}\,dt = \frac{1}{2}\Bigl[ t - \frac{\sin 2t}{2}\Bigr]_{0}^{2\pi} = \pi.
E \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt = 0. Logo
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = -2\cdot\pi -3\cdot 0 = -2\pi.

Passo 4

Cálculo de \nabla\times\vec{F} (explicando o que é): \nabla\times\vec{F} é o rotor (curl) de \vec{F} e dá um campo vetorial cujo componente i é \partial_y F_z-\partial_z F_y, componente j é \partial_z F_x-\partial_x F_z (com sinal negativo na fórmula completa) e componente k é \partial_x F_y-\partial_y F_x. Aplicando isso a \vec{F}=(2y,-z,3):
\nabla\times\vec{F} = \bigl(\partial_{y}3 - \partial_{z}(-z),\; \partial_{z}(2y)-\partial_{x}3,\; \partial_{x}(-z)-\partial_{y}(2y)\bigr).
Calculando as derivadas:
\nabla\times\vec{F} = (0-(-1),\;0-0,\;0-2) = (1,\,0,\,-2).

Passo 5

Expressão do elemento de superfície orientado para a superfície z=f(x,y)=4-x^{2}-y^{2} com normal apontando para cima:
  • Para uma superfície dada como gráfico z=f(x,y) com normal superior, tem-se
\vec{n}\,dS = (-f_{x},\,-f_{y},\,1)\,dA.
  • Aqui f_{x}=\partial_{x}(4-x^{2}-y^{2})=-2x e f_{y}=-2y. Então
\vec{n}\,dS=(2x,\,2y,\,1)\,dA.

Passo 6

Cálculo da integral de superfície \displaystyle \iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS:
  • Produto escalar do rotor com \vec{n}\,dS:
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS = (1,0,-2)\cdot(2x,2y,1)\,dA = 2x -2\,dA.
  • Integrar sobre a região plana D (projeção de S no plano xy), que é o disco x^{2}+y^{2}\le 1:
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS = \iint_{D} (2x-2)\,dA.
  • Separando:
\iint_{D}2x\,dA - \iint_{D}2\,dA.
Pelo simetria do disco, \iint_{D}x\,dA=0 (a contribuição positiva e negativa de x se cancelam). E \iint_{D}1\,dA é a área do disco de raio 1, que vale \pi. Portanto
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS = 0 - 2\cdot\pi = -2\pi.

Passo 7

Conclusão e verificação do Teorema de Stokes:
  • Obtivemos
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = -2\pi \qquad\text{e}\qquad \iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS = -2\pi.
Como os dois valores coincidem, o Teorema de Stokes está verificado para este campo e esta superfície (e a orientação escolhida está consistente).

Resposta

\displaystyle \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = -2\pi
\displaystyle \iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS = -2\pi

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