Suponha que
seja uma função diferenciável tal que
. Seja
,
e
. Calcule
e
em função de
.
Mostre que cada uma das equações a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
no ponto dado. Além disso, calcule
e
em termos de
:
em
;
Mostre que cada uma das equações a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
Passo 1
O enunciado dá duas tarefas distintas. Vou listar claramente o que é pedido e quais são os dados:
- Dados:
é diferenciável e as coordenadas são dadas em termos de por
com
.
Pergunta A: Calcular ,
e
em função de
,
,
.
Pergunta A: Calcular
- Dados: a equação implícita
e o ponto considerado é
.
Pergunta B: Mostrar que a equação define implicitamente pelo menos uma função diferenciável no ponto dado. Além disso, calcular
e
em termos de
(e, se for útil, avaliar no ponto dado).
Pergunta B: Mostrar que a equação define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
Passo 2
Entendendo e aplicando a regra da cadeia para a Parte A (intuição e fórmula básica).
- Ideia:
é função de e cada uma dessas depende de . Ao variar mantendo fixos, a variação total de é a soma das variações que passam por . A mesma ideia vale para e . - Regra da cadeia (forma para uma função composta): se
com , , , então, por exemplo,
Aqui
é uma das variáveis novas (no nosso caso
ou
).
- Explicação das notações:
significa a derivada parcial de em relação à sua primeira variável (avaliada no ponto correspondente), e é a derivada parcial de em relação a , etc.
Agora vamos calcular explicitamente as derivadas parciais de
em relação a
. Essas são puras derivadas elementares.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
, em detalhe (para usar na regra da cadeia).
- Lembrando:
- Derivando em relação a
(mantendo fixos):
- Aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo as derivadas encontradas obtemos a expressão necessária para
. (A substituição concreta vai aparecer no campo de respostas.)
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
, em detalhe.
- Derivando em relação a
(mantendo fixos):
- Pela regra da cadeia:
Substituindo as derivadas acima obtemos a expressão para
.
Passo 5
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
, em detalhe.
- Derivando em relação a
(mantendo fixos):
- Pela regra da cadeia:
Substituindo as derivadas obtemos a expressão para
.
Passo 6
Agora passamos à Parte B: existência de
implicitamente e cálculo de derivadas parciais.
- Definir a função implícita
como o lado esquerdo menos o lado direito:
- Verificar que o ponto
satisfaz a equação: calcule .
logo o ponto está na superfície definida por
.
- Teorema (forma usada): Se
é diferenciável numa vizinhança de , e , então existe uma função diferenciável numa vizinhança de tal que . Além disso,
avaliadas em
.
- Calcular as derivadas parciais de
:
(Expliquei: a derivada de
em relação a
é
por regra da cadeia; com o fator
dá
.)
- Avaliando
em :
Portanto a condição do teorema é satisfeita e existe função diferenciável
numa vizinhança de
tal que
.
Passo 7
Cálculo final de
e
em termos de
, aplicando a fórmula do teorema (e avaliando se desejado no ponto).
- Fórmula geral (antes de avaliar em qualquer ponto):
- Observação: as duas derivadas são iguais por simetria da equação (dependência simétrica de
e através do argumento ). - Avaliação no ponto
: como ,
Resposta
Existe uma função diferenciável
perto de
porque
para
.