Suponha que f seja uma função diferenciável tal que w=f(x, y, z). Seja x=r \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta, y=r \operatorname{sen} \varphi \cos \theta e z=r \cos \varphi, \operatorname{com} r>0. Calcule \frac{\partial w}{\partial r}, \frac{\partial w}{\partial \varphi} e \frac{\partial w}{\partial \theta} em função de \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial w}{\partial y}, \frac{\partial w}{\partial z}.
Mostre que cada uma das equações a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável z=z(x, y) no ponto dado. Além disso, calcule \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} em termos de x, y, z :
z+2 \cos (x+y+z)=2 em (0,0,0);

Passo 1

O enunciado dá duas tarefas distintas. Vou listar claramente o que é pedido e quais são os dados:
  • Dados: w=f(x,y,z) é diferenciável e as coordenadas x,y,z são dadas em termos de (r,\varphi,\theta) por
x = r \sin\varphi \sin\theta,\qquad y = r \sin\varphi \cos\theta,\qquad z = r \cos\varphi,
com r>0.
Pergunta A: Calcular \dfrac{\partial w}{\partial r}, \dfrac{\partial w}{\partial \varphi} e \dfrac{\partial w}{\partial \theta} em função de \dfrac{\partial w}{\partial x}, \dfrac{\partial w}{\partial y}, \dfrac{\partial w}{\partial z}.
  • Dados: a equação implícita
z + 2\cos(x+y+z) = 2
e o ponto considerado é (x,y,z)=(0,0,0).
Pergunta B: Mostrar que a equação define implicitamente pelo menos uma função diferenciável z=z(x,y) no ponto dado. Além disso, calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} em termos de x,y,z (e, se for útil, avaliar no ponto dado).

Passo 2

Entendendo e aplicando a regra da cadeia para a Parte A (intuição e fórmula básica).
  • Ideia: w é função de (x,y,z) e cada uma dessas depende de (r,\varphi,\theta). Ao variar r mantendo \varphi,\theta fixos, a variação total de w é a soma das variações que passam por x,y,z. A mesma ideia vale para \varphi e \theta.
  • Regra da cadeia (forma para uma função composta): se w=f(x,y,z) com x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w), então, por exemplo,
\frac{\partial w}{\partial u} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial u}.
Aqui u é uma das variáveis novas (no nosso caso r,\varphi ou \theta).
  • Explicação das notações: \dfrac{\partial w}{\partial x} significa a derivada parcial de f em relação à sua primeira variável (avaliada no ponto correspondente), e \dfrac{\partial x}{\partial r} é a derivada parcial de x(r,\varphi,\theta) em relação a r, etc.
Agora vamos calcular explicitamente as derivadas parciais de x,y,z em relação a r,\varphi,\theta. Essas são puras derivadas elementares.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de x,y,z em relação a r, em detalhe (para usar na regra da cadeia).
  • Lembrando:
x = r \sin\varphi \sin\theta,\qquad y = r \sin\varphi \cos\theta,\qquad z = r \cos\varphi.
  • Derivando em relação a r (mantendo \varphi,\theta fixos):
\frac{\partial x}{\partial r} = \sin\varphi \sin\theta, \qquad \frac{\partial y}{\partial r} = \sin\varphi \cos\theta, \qquad \frac{\partial z}{\partial r} = \cos\varphi.
  • Aplicando a regra da cadeia para \dfrac{\partial w}{\partial r}:
\frac{\partial w}{\partial r} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial r}.
Substituindo as derivadas encontradas obtemos a expressão necessária para \dfrac{\partial w}{\partial r}. (A substituição concreta vai aparecer no campo de respostas.)

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x,y,z em relação a \varphi, em detalhe.
  • Derivando em relação a \varphi (mantendo r,\theta fixos):
\frac{\partial x}{\partial \varphi} = r\cos\varphi \sin\theta, \qquad \frac{\partial y}{\partial \varphi} = r\cos\varphi \cos\theta, \qquad \frac{\partial z}{\partial \varphi} = -r\sin\varphi.
  • Pela regra da cadeia:
\frac{\partial w}{\partial \varphi} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \varphi} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \varphi} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial \varphi}.
Substituindo as derivadas acima obtemos a expressão para \dfrac{\partial w}{\partial \varphi}.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais de x,y,z em relação a \theta, em detalhe.
  • Derivando em relação a \theta (mantendo r,\varphi fixos):
\frac{\partial x}{\partial \theta} = r\sin\varphi\cos\theta, \qquad \frac{\partial y}{\partial \theta} = -r\sin\varphi\sin\theta, \qquad \frac{\partial z}{\partial \theta} = 0.
  • Pela regra da cadeia:
\frac{\partial w}{\partial \theta} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial \theta}.
Substituindo as derivadas obtemos a expressão para \dfrac{\partial w}{\partial \theta}.

Passo 6

Agora passamos à Parte B: existência de z=z(x,y) implicitamente e cálculo de derivadas parciais.
  • Definir a função implícita F(x,y,z) como o lado esquerdo menos o lado direito:
F(x,y,z) = z + 2\cos(x+y+z) - 2.
  • Verificar que o ponto (0,0,0) satisfaz a equação: calcule F(0,0,0).
F(0,0,0) = 0 + 2\cos(0) - 2 = 2\cdot 1 - 2 = 0,
logo o ponto está na superfície definida por F=0.
  • Teorema (forma usada): Se F é diferenciável numa vizinhança de (x_0,y_0,z_0), F(x_0,y_0,z_0)=0 e \dfrac{\partial F}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)\neq 0, então existe uma função diferenciável z=z(x,y) numa vizinhança de (x_0,y_0) tal que F(x,y,z(x,y))\equiv 0. Além disso,
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z},\qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z},
avaliadas em (x,y,z(x,y)).
  • Calcular as derivadas parciais de F:
F_x(x,y,z) = -2\sin(x+y+z)\cdot 1 = -2\sin(x+y+z),
F_y(x,y,z) = -2\sin(x+y+z),
F_z(x,y,z) = 1 - 2\sin(x+y+z)\cdot 1 = 1 - 2\sin(x+y+z).
(Expliquei: a derivada de \cos(x+y+z) em relação a x é -\sin(x+y+z)\cdot 1 por regra da cadeia; com o fator 2 -2\sin(\cdot).)
  • Avaliando F_z em (0,0,0):
F_z(0,0,0) = 1 - 2\sin(0) = 1 - 0 = 1 \neq 0.
Portanto a condição do teorema é satisfeita e existe função diferenciável z=z(x,y) numa vizinhança de (0,0) tal que z(0,0)=0.

Passo 7

Cálculo final de \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} em termos de x,y,z, aplicando a fórmula do teorema (e avaliando se desejado no ponto).
  • Fórmula geral (antes de avaliar em qualquer ponto):
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{-2\sin(x+y+z)}{1-2\sin(x+y+z)} = \frac{2\sin(x+y+z)}{1-2\sin(x+y+z)}.
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} = -\frac{-2\sin(x+y+z)}{1-2\sin(x+y+z)} = \frac{2\sin(x+y+z)}{1-2\sin(x+y+z)}.
  • Observação: as duas derivadas são iguais por simetria da equação (dependência simétrica de x e y através do argumento x+y+z).
  • Avaliação no ponto (0,0,0): como \sin(0)=0,
\frac{\partial z}{\partial x}(0,0) = 0,\qquad \frac{\partial z}{\partial y}(0,0) = 0.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial r}=\frac{\partial w}{\partial x}\sin\varphi\sin\theta+\frac{\partial w}{\partial y}\sin\varphi\cos\theta+\frac{\partial w}{\partial z}\cos\varphi
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial \varphi}=\frac{\partial w}{\partial x}\,r\cos\varphi\sin\theta+\frac{\partial w}{\partial y}\,r\cos\varphi\cos\theta-\frac{\partial w}{\partial z}\,r\sin\varphi
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial \theta}=\frac{\partial w}{\partial x}\,r\sin\varphi\cos\theta-\frac{\partial w}{\partial y}\,r\sin\varphi\sin\theta
Existe uma função diferenciável z=z(x,y) perto de (0,0,0) porque F_z(0,0,0)=1\neq0 para F(x,y,z)=z+2\cos(x+y+z)-2.
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2\sin(x+y+z)}{1-2\sin(x+y+z)},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2\sin(x+y+z)}{1-2\sin(x+y+z)}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}(0,0)=0,\qquad \frac{\partial z}{\partial y}(0,0)=0

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