Determine se a função dada é homogênea e especifique o grau de homogeneidade quando for o caso.
cos (x^2y^2+x^2).

Passo 1

Vamos resumir o que temos: a função é f(x,y)=cos\left(\frac{x2}{y2+x^2}\right), o conteúdo é homogeneidade de funções de duas variáveis e precisamos usar a definição de função homogênea.

Passo 2

Pela definição, f é homogênea de grau k se f(tx,ty)=t^k f(x,y) para todo t>0. Vamos calcular f(tx,ty):

Passo 3

f(tx,ty)=cos((tx)^2(ty)^2+(tx)^2)=cos(t^2x^2t^2y^2+t^2x^2)=cos(x^2y^2+x^2)=f(x,y)

Passo 4

Como f(tx,ty)=f(x,y), isso equivale a t^0 f(x,y). Logo o grau de homogeneidade é k=0.

Resposta

A função é homogênea de grau 0.

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