Verifique o tipo de convergência (pontual ou uniforme) das sequências de funções abaixo nos domínios D indicados:
fn(x)=n xn x^2+1, D=[a, b]

Passo 1

O enunciado dá a sequência de funções
fn(x)=n,xn,x^2+1
definida em D=[a,b] e pede que a gente verifique
– a convergência pontual (isto é, para cada xin D, se fn(x)to f(x));
– a convergência uniforme (isto é, se supxin D|fn(x)-f(x)|to0).
Vamos usar a definição de limite pontual e, em seguida, estimar o supremo da diferença para testar uniformidade.

Passo 2

Para calcular limntoinftyfn(x) note que
fn(x) =n,xn,x^2+1 =xx^2+tfrac1n
Se xneq0, à medida que ntoinfty temos tfrac1nto0, logo
limntoinftyfn(x) =xx^2=1x
Se x=0, então fn(0)=0 para todo n e logo
limntoinftyfn(0)=0

Passo 3

Concluímos que a função limite pontual é
f(x)= dfrac1x,&xneq0,[6pt] 0,&x=0 ]

Passo 4

Para investigar a uniformidade, examinamos
l|fn(x)-f(x)r| =l|xx^2+1/n-1xr| =l|x^2-(x^2+1/n)r|;x,(x^2+1/n); =1/nx,(x^2+1/n)
Se 0notin[a,b], isto é, se x está sempre a uma distância mínima de<a>0 de zero (por exemplo a>0 ou b<0), então para todo xin[a,b] temos x^2+1/n>= x^2>=de<a^2 e x>=de<a. Assim
l|fn(x)-f(x)r| <=1/nde<a;de<a^2 =1n,de<a^3
Como 1n,de<a^3to0, segue que
supxin[a,b]l|fn(x)-f(x)r|<=1n,de<a^3xrightarrow[ntoinfty]0,
ou seja, a convergência é uniforme sempre que 0notin[a,b].
Se, porém, 0in[a,b], então a função limite f é discontínua em x=0 (de um lado tende a 1/x, do outro vale 0), mas cada fn é contínua em todo o intervalo. Como o limite uniforme de funções contínuas tem de ser contínuo, concluímos que não há convergência uniforme em qualquer intervalo que contenha 0.

Resposta

A sequência
A convergência é uniforme se e somente se com ou ), e não é uniforme em qualquer intervalo que inclua .

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