Verifique o tipo de convergência (pontual ou uniforme) das sequências de funções abaixo nos domínios D indicados:
Passo 1
O enunciado dá a sequência de funções
definida em e pede que a gente verifique
– a convergência pontual (isto é, para cada , se );
– a convergência uniforme (isto é, se ).
Vamos usar a definição de limite pontual e, em seguida, estimar o supremo da diferença para testar uniformidade.
Se 0notin[a,b], isto é, se x está sempre a uma distância mínima de<a>0 de zero (por exemplo a>0 ou b<0), então para todo xin[a,b] temos x^2+1/n>= x^2>=de<a^2 e x>=de<a. Assim
ou seja, a convergência é uniforme sempre que 0notin[a,b].
Se, porém, 0in[a,b], então a função limite f é discontínua em x=0 (de um lado tende a 1/x, do outro vale 0), mas cada fn é contínua em todo o intervalo. Como o limite uniforme de funções contínuas tem de ser contínuo, concluímos que não há convergência uniforme em qualquer intervalo que contenha 0.
Resposta
A sequência
A convergência é uniforme se e somente se com ou ), e não é uniforme em qualquer intervalo que inclua .