Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
z=x \cos (2 x+3 y)

Passo 1

O enunciado dá a função
z = x cosl(2x + 3yr)
e pede todas as derivadas parciais de segunda ordem: partial^2 zpartial x^2, partial^2 zpartial xpartial y, partial^2 zpartial ypartial x e partial^2 zpartial y^2. Para isso, vamos primeiro obter as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra do produto e a regra da cadeia, e depois derivar novamente.

Passo 2

Calculando partial zpartial x. Como z = xcdot costheta com theta = 2x+3y,
a regra do produto dá
partial zpartial x = 1cdot costheta + xcdotl(-sinthetar),partialthetapartial x = cosl(2x+3yr) - xsinl(2x+3yr)cdot 2
Logo
partial zpartial x = cosl(2x+3yr) - 2x,sinl(2x+3yr)

Passo 3

Calculando partial zpartial y. Aqui x é tratado como constante, então
partial zpartial y = xcdotl(-sinthetar),partialthetapartial y = -,xsinl(2x+3yr)cdot 3,
ou seja
partial zpartial y = -3x,sinl(2x+3yr)

Passo 4

Agora partial^2 zpartial x^2 = partialpartial xl(partial zpartial xr). Tomando
partial zpartial x = costheta - 2xsintheta, temos
  • derivada de costheta em relação a x é -sinthetacdot2,
  • derivada de -2xsintheta em relação a x é -2)l[sintheta + xcosthetacdot2r].
    Somando,
partial^2 zpartial x^2 = -2sintheta ;-;2sintheta ;-;4xcostheta = -4sinl(2x+3yr);-;4xcosl(2x+3yr)

Passo 5

Para partial^2 zpartial xpartial y = partialpartial yl(partial zpartial xr), derivamos
partial zpartial x = costheta - 2xsintheta em y:
  • partialy[costheta] = -sinthetacdot3,
  • partialy[-2xsintheta] = -2xcosthetacdot3.
    Logo
partial^2 zpartial xpartial y = -3sinl(2x+3yr) ;-;6xcosl(2x+3yr)

Passo 6

Para partial^2 zpartial y^2 = partialpartial yl(partial zpartial yr), derivamos
partial zpartial y = -3xsintheta em y:
partial^2 zpartial y^2 = -3xcosl(2x+3yr)cdot 3 = -9x,cosl(2x+3yr)

Resposta

partial^2 zpartial x^2 = -4sinl(2x+3yr);-;4xcosl(2x+3yr),
partial^2 zpartial xpartial y = -3sinl(2x+3yr);-;6xcosl(2x+3yr),
partial^2 zpartial ypartial x = -3sinl(2x+3yr);-;6xcosl(2x+3yr),
partial^2 zpartial y^2 = -9x,cosl(2x+3yr)

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