Verifique qual transformação linear abaixo é sobrejetora:
, definido por
Passo 1
Enunciado: temos T:
dada por T(
) = (
,
). A matéria é transformações lineares e surjetividade: queremos verificar se T é sobrejetora, ou seja, se sua imagem é todo
. Para isso vamos analisar o posto (ou a invertibilidade) da matriz associada a T.
Passo 2
Vamos montar a matriz A de T na base canônica. Como T(
) = (
,
), temos:
Passo 3
Para verificar surjetividade, basta checar se A é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Se
, então posto(A)=2 e T é sobrejetora; se
, então posto(A)<2 e T não é sobrejetora.
Passo 4
Calculando o determinante de A:
Passo 5
Como
, A não é invertível e seu posto é 1 (as linhas são proporcionais). Logo, a imagem de T é um subespaço de dimensão 1 em vez de todo
, e T não é sobrejetora.
Resposta
A transformação T não é sobrejetora.