Verifique qual transformação linear abaixo é sobrejetora:
T: R^2 R^2, definido por T(x, y)=(x-5 y,-2 x+10 y)

Passo 1

Enunciado: temos T: R^2 to R^2 dada por T( x,y) = ( x - 5y, -2x + 10y). A matéria é transformações lineares e surjetividade: queremos verificar se T é sobrejetora, ou seja, se sua imagem é todo R^2. Para isso vamos analisar o posto (ou a invertibilidade) da matriz associada a T.

Passo 2

Vamos montar a matriz A de T na base canônica. Como T( x,y) = ( x - 5y, -2x + 10y), temos:
A = 1 & -5 -2 & 10

Passo 3

Para verificar surjetividade, basta checar se A é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Se det(A) neq 0, então posto(A)=2 e T é sobrejetora; se det(A)=0, então posto(A)<2 e T não é sobrejetora.

Passo 4

Calculando o determinante de A:
det(A) = 1 cdot 10 - (-5) cdot (-2) = 10 - 10 = 0

Passo 5

Como det(A)=0, A não é invertível e seu posto é 1 (as linhas são proporcionais). Logo, a imagem de T é um subespaço de dimensão 1 em vez de todo R^2, e T não é sobrejetora.

Resposta

A transformação T não é sobrejetora.

Exercícios relacionados