Verifique quais das transformações abaixo são lineares.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação
definida por
. Nosso objetivo é verificar se essa transformação é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e aplicar essas regras na nossa transformação.
Passo 2
Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma transformação
é linear se ela respeita duas propriedades principais:
- Adição:
para quaisquer vetores e . - Multiplicação por escalar:
para qualquer vetor e escalar .
Além disso, uma transformação linear sempre leva o vetor zero ao vetor zero, ou seja,
.
Passo 3
Vamos verificar se
satisfaz essas propriedades.
1. Verificando a Adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer e
.
Vamos pegar dois vetores quaisquer
- Primeiro, somamos os vetores:
. - Aplicando
nessa soma:
- Agora, aplicando
individualmente:
- Vimos que
.
2. Verificando a Multiplicação por Escalar:
Vamos pegar um vetor e um escalar
.
Vamos pegar um vetor
- Multiplicando o vetor por
: . - Aplicando
:
- Então,
.
Passo 4
Além disso, vamos verificar que
:
Conferido!
Resposta
Sim, a transformação
é linear.