Verifique quais das transformações abaixo são lineares.
T: R^2 R^2, T(x, y)=(2 x-y, 0);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação T: R^2 R^2 definida por T(x, y) = (2x - y, 0) . Nosso objetivo é verificar se essa transformação é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e aplicar essas regras na nossa transformação.

Passo 2

Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma transformação T é linear se ela respeita duas propriedades principais:
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v) para quaisquer vetores u e v .
  2. Multiplicação por escalar: T(cu) = cT(u) para qualquer vetor u e escalar c .
Além disso, uma transformação linear sempre leva o vetor zero ao vetor zero, ou seja, T(0) = 0 .

Passo 3

Vamos verificar se T satisfaz essas propriedades.
1. Verificando a Adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer u = (x1, y1) e v = (x2, y2) .
  • Primeiro, somamos os vetores: u + v = (x1 + x2, y1 + y2) .
  • Aplicando T nessa soma:
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (2(x1 + x2) - (y1 + y2), 0)
= (2x1 + 2x2 - y1 - y2, 0)
  • Agora, aplicando T individualmente:
T(u) = (2x1 - y1, 0)
T(v) = (2x2 - y2, 0)
T(u) + T(v) = (2x1 - y1 + 2x2 - y2, 0 + 0) = (2x1 + 2x2 - y1 - y2, 0)
  • Vimos que T(u + v) = T(u) + T(v) .
2. Verificando a Multiplicação por Escalar:
Vamos pegar um vetor u = (x, y) e um escalar c .
  • Multiplicando o vetor por c : cu = (cx, cy) .
  • Aplicando T :
T(cu) = T(cx, cy) = (2(cx) - cy, 0) = (c(2x - y), 0)
= c(2x - y, 0) = cT(u)
  • Então, T(cu) = cT(u) .

Passo 4

Além disso, vamos verificar que T(0) = 0 :
T(0, 0) = (2(0) - 0, 0) = (0, 0)
Conferido!

Resposta

Sim, a transformação T(x, y) = (2x - y, 0) é linear.

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